১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ২৫৩ কে ভাঙ্গলে ১১ × ২৩ = ২৫৩ হয়। কিন্তু অন্য সংখ্যাগুলোকে ভাঙ্গানো যায় না।
তাই ২৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোনের দাম ১৮০০০ টাকা। যদি ভ্যাটের পরিমাণ ৭.৫% হয়, তবে মোট কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে?

সমাধান:
১০০ টাকা ভ্যাট দিতে হয় ৭.৫ টাকা
∴ ১ টাকা ভ্যাট দিতে হয় = ৭.৫/১০০ টাকা
∴ ১৮০০০ টাকা ভ্যাট দিতে হয় = (৭.৫ × ১৮০০০)/১০০ = ১৩৫০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল সুদে কত বছরে ৮০০ টাকার সুদ ৪০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৮০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১০% 
সুদ (I) = ৪০০ টাকা
সময় = n বছর

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০ × ১০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = ৮০n
⇒ n = ৪০০/৮০
∴ n = ৫ বছর

∴ সময় = ৫ বছর

প্রশ্ন: ৩ : ৫ অনুপাত বিশিষ্ট দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৬৪ হলে, সংখ্যা দুটির অন্তর কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৫ক = ৬৪
⇒ ৮ক = ৬৪
⇒ ক = ৬৪/৮
∴ ক = ৮

সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো
৩ক = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫ক = ৫ × ৮ = ৪০

∴ সংখ্যা দুটির অন্তর = ৪০ - ২৪ = ১৬

প্রশ্ন: টাকায় পাঁচটি করে আম ক্রয় করে টাকায় চারটি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান: 
৫টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৫ = ০.২০ টাকা

আবার,
৪টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/৪ = ০.২৫ টাকা

সুতরাং লাভ হচ্ছে = ০.২৫ - ০.২০ টাকা = ০.০৫ টাকা 

সুতরাং শতকরা লাভ (০.০৫/০.২০) × ১০০% = ২৫%

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৬০। বড় সংখ্যা ছোট সংখ্যার ৫ গুণ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যা = ক এবং বড় সংখ্যা = ৫ক

দেওয়া আছে,
গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৬০

প্রশ্নমতে,
ক × ৫ক = ১২ × ৬০
⇒ ৫ক^২ = ৭২০
⇒ ক^২ = ১৪৪ = ১২^২
∴ ক = ১২

সুতরাং, ছোট সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫২° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৫২° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৫২°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫২° + ৫২° = ১৮০°
⇒ ∠A + ১০৪° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ১০৪° = ৭৬°
∴ ∠A = ৭৬°

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় তিন বন্ধু (১/৪) : (১/৫) : (১/১০) অনুপাতে বিনিয়োগ করেছে। মোট মুনাফা ৪৪০০ টাকা হলে, দ্বিতীয় অংশীদারের প্রাপ্ত মুনাফা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{(১/৪) × ২০} : {(১/৫) × ২০} : {(১/১০) × ২০} ; [২০ দ্বারা গুণ করে পাই]
= ৫ : ৪ : ২
এখন,
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৪ + ২ = ১১

∴ দ্বিতীয় অংশীদারের প্রাপ্ত মুনাফা = (৪/১১) × ৪৪০০ = ১৬০০ টাকা

পূর্ণ সংখ্যাঃ শূন্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।

স্বাভাবিক সংখ্যাঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।

মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায়, যেখানে q ≠ 0), যেমন: ১/২, ৩, -৫, ০.৭৫ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায় না, যেখানে q ≠ 0)যেমন: √২, π, √৫ ইত্যাদি।

প্রশ্ন: লিচুর দাম ২৫% কমে যাওয়ায় ১৫ টাকায় পূর্বের তুলনায় ৩টি লিচু বেশি পাওয়া যায়। বর্তমানে একটি লিচুর দাম কত টাকা?

সমাধান:
১৫ টাকার ২৫% = ১৫ এর ২৫/১০০ টাকা = ৩.৭৫ টাকা

∴ ৩টি লিচুর বর্তমান দাম = ৩.৭৫ টাকা
∴ ১টি লিচুর বর্তমান দাম = ৩.৭৫/৩ = ১.২৫ টাকা

∴ বর্তমানে একটি লিচুর দাম ১.২৫ টাকা।

প্রশ্ন: করিম সাহেব ৫০০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ৪ বছর পর তিনি আসল টাকার অর্ধেক সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
আসল টাকা, P = ৫০০০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদ = (১/২) × ৫০০০০ = ২৫০০০ টাকা,
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ২৫০০০ = (৫০০০০ × r × ৪)/১০০
⇒ ২৫০০০ = (২০০০০০ × r)/১০০
⇒ ২৫০০০ × ১০০ = ১৫০০০০০ × r
⇒ ২৫০০০০০ = ২০০০০০ × r
⇒ r = ২৫০০০০০/২০০০০০
⇒ r = ২৫/২
∴ r = ১২.৫

∴ সুদের হার ১২.৫%।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১০% ক্ষতিতে একটি খেলনা বিক্রয় করে। যদি সে খেলনাটি ১৬৫ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করতো তাহলে তার ৫% লাভ হতো। খেলনাটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে, শতকরা বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০)% = ৯০%
৫% লাভে, শতকরা বিক্রয়মূল্য = (১০০+ ৫)% = ১০৫%

∴ পার্থক্য = (১০৫- ৯০)% = ১৫%

প্রশ্নমতে,
১৫% = ১৬৫ টাকা
∴ ১% = ১৬৫/১৫ টাকা
∴ ১০০% = (১৬৫ × ১০০)/১৫ = ১১০০ টাকা

অতএব, খেলনাটির ক্রয়মূল্য = ১১০০ টাকা

প্রশ্ন: ৪০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লসাগু ৬০
৬০ দ্বারা ৪০০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪০ হয়।
ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্য নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১৮ সে. মি. হলে AD কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১৮/GD = ২/১
⇒ GD = ১৮/২
∴ GD = ৯

∴ AD = (AG + GD) সে. মি.
= (১৮ + ৯) সে. মি.
= ২৭ সে. মি.

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 7 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
7² + 24² = 25²
49 + 576 = 625
625 = 625

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 12 সে. মি. এবং উচ্চতা 8 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস 12 সে. মি.
ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে. মি.
এবং
উচ্চতা, h = 8 সে. মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h
= π × (6)² × 8
= π × 36 × 8
= 288π

∴ সিলিন্ডারের আয়তন 288π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: ৪/১১ কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে? 

সমাধান:
৪/১১ = ০.৩৬৩৬৩৬....…=
এটি একটি পুনরাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ, যেখানে ৩৬ পুনরায় আসতেছে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ১০০০০ × (১ + ৫/১০০)^২
= ১০০০০ × (১০৫/১০০)^২
= ১০০০০ × (২১/২০) × (২১/২০)
= ১০০০০ × (৪৪১/৪০০)
= ১১০২৫ টাকা 

প্রশ্ন: 1050 টাকা P, Q ও R এর মধ্যে ভাগ করে দেওয়া হলো। P এর অংশ, Q ও R একত্রে যা পায় তার 2/5 ভাগ। P কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ধরি:
Q + R একত্রে পায় = x টাকা

তাহলে, P পায় = (2/5)x = 2x/5 টাকা

প্রশ্নমতে,
P + Q + R = 1050
⇒ (2x/5) + x = 1050
⇒ (2x + 5x)/5 = 1050
⇒ 7x = 5250
⇒ x = 5250/7
∴ x = 750

∴ P পায় = (2 × 750)/5 = 300 টাকা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১০০% থেকে ১০০ বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে ১০০। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক এর ১০০% - ১০০ = ১০০
⇒ ক এর ১০০% = ১০০ + ১০০
⇒ ক এর (১০০/১০০) = ২০০
∴ ক = ২০০

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৩০ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। কী পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৩ + ২) = ৫
∴ অনুপাতে সোনার পরিমাণ = ৩০ × (৩/৫) গ্রাম = ১৮ গ্রাম
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ৩০ × (২/৫) গ্রাম = ১২ গ্রাম

ধরি,
সোনা মিশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(১৮ + ক)/১২ = ৫/১
⇒ ১৮ + ক = ৬০
⇒ ক = ৬০ - ১৮
∴ ক = ৪২

∴ সোনা মিশাতে হবে = ৪২ গ্রাম।

প্রশ্ন: (3, -1) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান:
x = 3, y = - 1 বসিয়ে,

ক) 4x + 3y = 5,
4(3) + 3(- 1) = 12 - 3 = 9 ≠ 5

খ) 3x - 2y = 11,
3(3) - 2(- 1) = 9 + 2 = 11 = 11 ; যা সত্য

গ) 2x + y = 1,
2(3) + (- 1) = 6 - 1 = 5 ≠ 1

ঘ) 4x + y = 5,
4(3) + (- 1) = 12 - 1 = 11 ≠ 5

∴ বিন্দুটি কেবলমাত্র 3x - 2y = 11 রেখার উপর অবস্থিত।
সঠিক উত্তর: খ

প্রশ্ন: 314 সে.মি. দীর্ঘ তারকে একটি বৃত্তের আকারে বাঁধলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের পরিধি = 314 সে.মি.

ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r

এখানে,
বৃত্তের পরিধি = তারের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 314
⇒ 2r = 314/π
⇒ 2r = 314/3.14
⇒ 2r = (314 × 100)/314
⇒ 2r = 100
∴ r = 100/2 = 50 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। এর ভিতরে চারদিকে ৪ মিটার প্রশস্ত রাস্তা থাকলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
প্রস্থ = ৪০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গ মিটার

আবার,
রাস্তা বাদে,
নতুন দৈর্ঘ্য = ৬০ - (২ × ৪) = ৫২ মিটার
নতুন প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৪) = ৩২ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ৫২ × ৩২ = ১৬৬৪ বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ২৪০০ - ১৬৬৪ = ৭৩৬ বর্গ মিটার