১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r হলে,
ক্ষেত্রফল, πr² = 35 …… (1)
পরিধি 2πr = 14 …… (2)

1নং ÷ 2নং দ্বারা পাই,
πr²/2πr = 35/14
বা, r/2 = 5/2
∴ r = 5
∴ ব্যাস 2r = 10 মিটার।

6x² - 7x - 5
= 6x² - 10x + 3x - 5 
= 2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
= (3x - 5) (2x + 1)

x < y .........(1)
p <q .........(2)
(1)নং ও (2)নং অসমতা যোগ করে,
x + p < y + q
p + x < q + y 

ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + ১০°

এখন
x + x + ১০° + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২x = ১৮০° - ১০০°
⇒ x = ৮০°/২
∴ x = ৪০°

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম
=log₅ 5√5
= log₅5 + log₅√5
= 1+ log₅5^1/2
= 1 + (1/2) log₅5
 = 1 + 1/2 
= (2 + 1)/2
= 3/2

ধরি 
 সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
        সাধারণ অন্তর d 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n -1)d 

এখানে, 10 তম পদ 42
সুতরাং a + (10 - 1) × 4= 42
        বা, a + 36 = 42
             a = 6

সুতরাং, 30 তম পদ = 6 + (30 - 1)× 4
                               = 6 + 116
                               = 122

মনে করি, 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে, 
(2x)² + 15 = 415  
4x² + 15 = 415 
4x² = 400
x² = 100 
x² = 10²
x = 10 

 1 + 2 + 3 + ......... + n =120
⇒ n(n + 1)/2 = 120
⇒ n(n + 1) = 240
⇒ n²+ n = 240
⇒ n² + n - 240 = 0
⇒ n² + 16n - 15n - 240 = 0
⇒ n(n + 16) - 15(n + 16) = 0
   (n +16) (n -15) = 0
হয়                         অথবা
n - 15 = 0                n + 16 = 0 
n = 15                     n = - 16 [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r 

এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 81
বা, ar^{4 - 1} = 81
বা, 3 × r³ = 81
বা, r³ =81/3
বা, r³ = 27
∴  r = 3 

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1}
                   = 3×(3)²
                   = 27

দেওয়া আছে, 
2a = 3b 
a = 3b/2 ............  (1)

3(3b/2) - by = 5
9b/2 - 2b= 5 
(9b - 4b)/2 = 5 
5b/ 2 = 5 
b/2 = 1
b = 2 

b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a = 3 × 2/2 
a = 3

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি   = (2 × 5 - 4) সমকোণ
                                                                        = (10 - 4) × 90°
                                                                         = 6 × 90°
                                                                          = 540°

পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = ছয় সমকোণ

দেওয়া আছে, 
 n তম পদ n.2^{n -1} 
5 তম পদ = 5.2^{5 -1}
                = 5.2⁴
                = 80

এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর d = 11 - 8 = 3 

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 374

n তম পদ = a + (n-1)d
374 = 8 + (n - 1)3
374 = 8 + 3n - 3
3n + 5 = 374
3n = 374 - 5
3n = 369
n = 369/3
n = 123

মনেকরি,
বড় সংখ্যাটি ক 
ছোট সংখ্যাটি ৪৫ - ক 

প্রশ্নমতে,
ক(৪৫ - ক) = ৩৯৬
৪৫ক - ক^২ = ৩৯৬
ক^২ - ৪৫ক + ৩৯৬ = ০ 
ক^২ - ৩৩ক - ১২ ক + ৩৯৬ = ০
ক(ক - ৩৩ ) - ১২(ক - ৩৩) = ০
(ক - ৩৩ )(ক - ১২) =০

হয় 
ক - ৩৩ = ০ 
ক = ৩৩

অথবা 
ক - ১২ = ০ 
ক = ১২

3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2)} = 8
⇒ 3ⁿ.3⁴ - 3ⁿ.3² = 8
⇒ 3ⁿ. 3² . 3² - 3ⁿ. 3² = 8
⇒ 3ⁿ. 3²(3² - 1) = 8
⇒ 3ⁿ.9. 8 = 8
⇒ 3ⁿ = 1/9
⇒ 3ⁿ = 1/3² = 3^{- 2}
∴ n = - 2

মনে করি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 18
বা, 5x - 2x < 2x + 18 - 2x 
বা, 3x < 18
      x < 6

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 6

(x/p) + p = q + (x/q)  
(x/p)  - (x/q)  = q - p
x{(1/p) - (1/q)} = q - p 
x{(q - p)/pq} = q - p 
x = (q - p) × pq/(q - p)
x = pq

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী ।

মনে করি, এ বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ও CD দুইটি জ্যা। O থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OE ও OF লম্ব।
তাহলে OE ও OF কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে AB ও CD জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে।
OE = OF

মনেকরি
সংখ্যা তিনটি a,b,c
a + b + c = 3p .
a + b = 2q
b + c = 2r

এখন,
a + b + b + c = 2q + 2r
3p + b = 2q + 2r
        b = 2q + 2r - 3p

বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে ৩৫% ছাত্র
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে ১০% ছাত্র
শুধু বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে (৩৫ - ১০)% ছাত্র
                                              = ২৫%
শুধু অংকে অকৃতকার্য হয়েছে (৩০ - ১০)% ছাত্র
                                              = ২০% ছাত্র 
বাংলা ,অংক এবং উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে = (২৫ + ২০ + ১০)% ছাত্র
                                                                            = ৫৫% ছাত্র 

    
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৫৫)%
                                             = ৪৫%

দেওয়া আছে, 
2/x = 4 
4x = 2 
x = 2/4 
x = 1/2


2/y = 8
8y = 2
y = 2/8
y = 1/4 

x - y = (1/2) - (1/4)
        = (2 - 1)/4
         = 1/4 

৪ থেকে শুরু করে পরপর পাঁচটি জোড় সংখ্যা = ৪, ৬, ৮, ১০, ১২

গড় = (৪ + ৬ + ৮ + ১০ + ১২)/৫
       = ৪০/৫ 
       = ৮ 

১১ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৬ বছর
১১ জন ছাত্রের মোট বয়স (১৬ × ১১) বছর
                                       = ১৭৬ বছর

১০ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর
১০ জন ছাত্রের মোট বয়স (১৫ × ১০) বছর
                                     = ১৫০ বছর 

নতুন ছাত্রের বয়স = (১৭৬ - ১৫০) বছর 
                            = ২৬ বছর 

১ বর্গ ফুট = ১ ফুট × ১ ফুট
= ১২ ইঞ্চি × ১২ ইঞ্চি
= ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি
∴ ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি = ১ বর্গ ফুট

Set S এর গড় : (0+2+4+5+9 +10)/6
= 30/6
= 5

যদি আমরা গড়ের সমান এমন একটি উপাদান সরিয়ে ফেলি, তাহলে নতুন সেটের গড় অপরিবর্তিত থাকবে।
5 সংখ্যাটি সরিয়ে দেওয়ার পর নতুন সেট = {0, 2, 4, 9, 10}.

অতএব নতুন সেটের গড় = (0+2+4+9+10)/5
                                       = 25/5
                                       = 5

মনে করি,
বাংলায় পাসের ঘটনা = A এবং
ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B
তাহলে, P(A) = 1- (2/5) = 3/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]

P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 5/8
P(বাংলা ও  ইংরেজি) = P(A∩B) = 1/4

এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 5/8 = (3/5) + P(B) - (1/4)
বা, P(B) = 5/8 + 1/4 - 3/5 = (25+10-24)/40
∴ P(B) = 11/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 11/40.

প্রতিটি পিলার জায়গা নেয় (২০ + ০.৫) = ২০.৫ মিটার
তাহলে, ৩৬৯ মিটারে বসানো যাবে (৩৬৯/২০.৫) + ১ টি = ১৮ + ১ = ১৯টি 

দুইপাশে বসবে ৩৮টি।

১২৯ এবং ১৪৭ এর গ.সা.গু. হলো ৩।

তাই সর্বোচ্চ ৩ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

এখানে ১২ টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ২০ টাকা।
তাহলে ১২ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = (১২ × ২) টাকা।
                                                       = ২৪ টাকা।
আমরা জানি,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ২৪ - ২০
= ৪ টাকা
শতকরা লাভ = লাভ/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ৪/২০ × ১০০%
= ২০%

5 টি প্যান্টের ক্রয়মূল্য= x টাকা 
1 টি প্যান্টের ক্রয়মূল্য=x/5 টাকা 


4 টি প্যান্টের বিক্রয়মূল্য= x টাকা
1 টি প্যান্টের বিক্রয়মূল্য=x/4 টাকা

 লাভ = x/4 - x/5
         = (5x - 4x)/ 20
          = x/20 

শতকরা লাভ =  [{(x/20)/(x/5)} × 100]%
                    =(x/20 ×5/x ×100)%
                   =  25%

২/৩ মিনিটে উৎপাদন করে = ১ টি
১      ''         ''          ''     = ৩/২ টি
∴ ১৮০ মিনিটে করে = (৩/২) × ১৮০ = ২৭০ টি

তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)২ = ৪ × ৩৬
বা, মধ্য রাশি = √১৪৪ = ১২

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= 3⁵
= 243

৯% হার সুদে ১০০ টাকার ৩ বছরের সুদ (৯×৩) = ২৭ টাকা
৬% হার সুদে ১০০ টাকার ৩ বছরের সুদ (৬×৩) = ১৮ টাকা
সুদ বেশি হবে = ২৭ - ১৮ = ৯ টাকা।

ধরি, ছাত্রসংখ্যা x
তাহলে,
3x + 7 = M --- i
4x - 25 = M --- ii

ii - i =>
x - 32 = 0
So, x = 32

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
বা, n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B) 

বাস এবং রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করে = {(৯০ + ২৫) - ১০০}%
                                                         = (১১৫ - ১০০)%
                                                         = ১৫%
রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করা ছাত্র বাস ব্যবহার করে = (১৫/২৫) × ১০০% = ৬০%

মনেকরি,
     ছাত্র সংখ্যা = ক জন 
    ক জন ছাত্ররের গড় নম্বর ৪৯ হলে
∴ ক জন ছাত্রের মোট মোট নম্বর = ৪৯ক   

আবার, 
    ক জন ছাত্রের গড় নম্বর ৪৭ হলে 
∴ ক জন ছাত্রের মোট মোট নম্বর = ৪৭ক 

প্রশ্নমতে, 
৪৯ক - ৪৭ক = ১০০ 
          বা, ২ক = ১০০ 
             বা, ক = ১০০/২ 
            ∴   ক =  ৫০ 
অতএব, 
           ছাত্র সংখ্যা ৫০ জন 

একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন, তাহলে পুরুষের সংখ্যা (৬-১) বা, ৫ জন।
একজনকে নির্দিষ্ট রাখায় কমিটিতে থাকবে (৪-১) বা, ৩ জন।

পুরুষ ৫	মহিলা ৪	কমিটি গঠন ৩	কমিটি গঠনের উপায়
০	৩	5C0 x 4C3	4
১	২	5C1 x 4C2	30
২	১	5C2 x 4C1	40
৩	০	5C3 x 4C0	10

মোট কমিটি গঠনের উপায় (4 + 30 + 40 + 10) বা, 84.

P (getting a prize) = ৯/(৯ + ২৭)
= ৯/৩৬
= ১/৪.

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l, প্রস্থ = b

প্রশ্নমতে,
(l - b) = 23 এবং 

    2(l + b) = 206 
⇒ (l + b) = 103

সমীকরণ সমাধান করে আমরা পাই: l = 63 and b = 40
∴ ক্ষেত্রফল = (l x b)
                  = (63 x 40) m²
                  = 2520 m²

A∩B = {3,43,13,15,23,37} ∩ {3,5,13,33,18,23} = {3,13,23}