গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: 2x² - 2 = 3x হলে x³ - (1/x³) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2x² - 2 = 3x
বা, 2(x² - 1) = 3x
বা, (x² - 1)/x = 3/2
∴ x - 1/x = 3/2

∴ x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3x . 1/x (x - 1/x)
= (3/2)³ + 3 × (3/2)
= (27/8) + (9/2)
= (27 + 36)/8
= 63/8

প্রশ্ন: log_x(1/27) = - 2 হলে x/3 = কত?

সমাধান: 
log_x(1/27) = - 2 
বা, x ^{- 2} = 1/27
বা, 1/x² = 1/27
বা, x² = 27
বা, x = √27
বা, x = √(9 × 3)
বা, x = 3√3
বা, x/3 = 3√3/3
∴ x/3 = √3

প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা,
x ≤ (x/4) + 3
বা, 4x ≤ x + 12
বা, 4x - x ≤ x + 12 -x
বা,  3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}

প্রশ্ন: যদি (625)^{3x - 2} = 5^{5x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(625)^{3x - 2} = 5^{5x + 6} 
⇒ (5⁴)^{3x - 2} = 5^{5x + 6} 
⇒ 5^{12x - 8} = 5^{5x + 6} 
⇒  12x - 8 = 5x + 6
⇒ 12x - 5x = 6 + 8
⇒ 7x = 14
∴ x = 2

প্রশ্ন: 4a² - 23a + 33 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

সমাধান:
4a²- 23a + 33
= 4a² - 11a - 12a + 33
= a(4a - 11) - 3(4a - 11)
= (4a - 11)(a - 3)

প্রশ্ন: যদি x = √4 + √3 হয় তবে, এর মান কত?

সমাধান:
x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
= (√4 - √3)/{(√4 + √3)(√4 - √3)}
= (√4 - √3)/{(√4)² - (√3)²}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3

∴ x + 1/x = √4 + √3 + √4 - √3
= 2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

1/4{x³ + (1/x³)} = 1/4 {(x + 1/x)³ - 3 . x . 1/x(x + 1/x)}
= 1/4 {4³ - (3 × 4)}
= 1/4 (64 - 12)
= 52/4
= 13

প্রশ্ন: a = 2 হলে, 2log(a/2) - log(5 - 2a) =?

সমাধান:
2log(a/2) - log (5 - 2a)
= 2 log(2/2) - log {5 - (2 × 2)}
= 2 × log1 - log1
= 2 × 0 - 0
= 0

প্রশ্ন: m - [- m + {- m(m - m -1)}] = কত?

সমাধান: 
m - [- m + {- m(m - m -1)}]
= m - [ - m  + { - m (- 1)}]
= m - [ - m + m]
= m - 0
= m

প্রশ্ন: m² + n² = 25 এবং m = 12/n হলে m + n = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
m² + n² = 25
এবং m = 12/n
∴ mn = 12

এখন, (m + n)² = m² + 2mn + n²
= 25 + 2 ⋅ 12
= 49
∴ m + n = √49 = 7

প্রশ্ন: m³ - 7m + 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
f(m) = m³ - 7m - 6

ধরি, m = 1
f(1) = (1)³ - 7 (1) + 6
f(1) = 1 - 7 + 6
f(1) = 7 - 7
f(1) = 0

এখন
 m³  - 7m + 6 
= m³ - m² + m² - m - 6m + 6
= m²(m - 1) + m(m - 1) - 6(m - 1) 
= (m - 1)(m² + m - 6)
=(m - 1)(m² + 3m - 2m - 6)
= (m - 1){m(m + 3) - 2(m + 3)}
= (m - 1)(m - 2)(m + 3)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (m - 1)(m - 2)(m + 3)

প্রশ্ন: 2(a + b + c) = 18 এবং ab + bc + ca = 31 হলে a² + b² + c² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(a + b + c) = 18
∴ a + b + c = 9
ab + bc + ca = 31 

আমরা জানি, 
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
= 9² - (2 × 31)
= 81 - 62
= 19

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 2 হলে a²⁰³ + a²⁰⁹ মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
a + a^{- 1} = 2
⇒ a + 1/a = 2
⇒ (a² + 1)/a = 2
⇒ a² + 1 = 2a
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ (a - 1)² = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1

∴ a²⁰³ + a²⁰⁹ = 1²⁰³ + 1²⁰⁹
= 1 + 1 = 2

প্রশ্ন: যদি x = m^p, y = m^q এবং m² = (x^qy^p)^r হয়, তবে pqr = কত?

সমাধান:
m² = (x^qy^p)^r
বা, m² = {(m^p)^q (m^q)^p}^r
বা, m² = (m^pq . m^pq)^r
বা, m² = m^{(pq + pq)r}
বা, m² = m^2pqr
বা, 2pqr = 2
∴ pqr = 1

প্রশ্ন: x² + 1/x² = 34 হয় তবে x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 1/x² = 34
⇒ (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 34
⇒ (x + 1/x)² = 34 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 36
⇒ (x + 1/x)² = (6)²
∴ (x + 1/x) = ± 6

প্রশ্ন: 8 < x < 10 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 10)/2
= 18/2
= 9

এখন,
8 < x < 10
বা, 8 - 9 < x - 9 < 10 - 9 [উভয় পক্ষ থেকে 9 বিয়োগ করে]
বা, - 1 < x - 9 < 1
বা, |x - 9| < 1

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

আমরা জানি,
2 (a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2 (a² + b²) = (√7)² + (√3)²
বা, 2 (a² + b²) = 7 + 3
বা, a² + b² = 10/2
∴ a² + b² = 5

প্রশ্ন: 5a² - 4a - 3 - 3(a² + a + 4) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
5a² - 4a - 3 - 3(a² + a + 4)
= 5a² - 4a - 3 - 3a² - 3a - 12
= 2a² - 7a - 15
= 2a² - 10a + 3a - 15
= 2a(a - 5) + 3(a - 5)
= (a - 5)(2a + 3)

প্রশ্ন: যদি হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 5 - 4a - a² এবং a² + a - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
5 - 4a - a²
= - a² - 4a + 5
= - a² - 5a + a + 5
= - a(a + 5) + 1(a + 5)
= (a + 5) (1 - a)

a² + a - 20
= a² + 5a - 4a - 20
= a(a + 5) - 4 (a + 5)
= (a + 5) (a - 4)

∴ 5 - 4a - a² এবং a² + a - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক  (a + 5) 

প্রশ্ন: 4^{a + 2} = 256 হয় তবে 3^{a - 2} = কত?

সমাধান:
4^{a + 2} = 256
বা, 4^{a + 2} = 4⁴
বা, ‍a + 2 = 4
বা, a = 4 - 2
∴ a = 2

এখন, 3^{a - 2} = 3^{2 - 2}
= 3⁰
= 1

প্রশ্ন: - a - b = - c হলে,  ‍a³ + b³ + 3abc = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
- a - b = - c
বা, - (a + b) = - c
∴ a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

প্রশ্ন: 10m² + 7m - 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান: 
10m² + 7m - 12
= 10m² + 15m - 8m - 12
= 5m(2m + 3) - 4(2m + 3)
= (2m + 3)(5m - 4)

প্রশ্ন: |3a + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
|3a + 2| < 7
বা, - 7 < 3a + 2 < 7
বা, - 7 - 2 < 3a + 2 - 2 < 7 - 2
বা, - 9 < 3a < 5
বা, - 3 < x< 5/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 3 < a < 5/3