Math Master

১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
5-তম পদ = a + 4d
⇒ 32 = a + 4 × 2 = a + 8 
⇒ a = 24
∴ 11-তম পদ = 24 + 10 × 2 = 44
---------------------------------------
সংক্ষেপে,
৫ম পদ = 32 ও সাধারণ অন্তর 2 হওয়ায়
পরের পদগুলো 34(ষষ্ঠ পদ), 36(সপ্তম পদ), 38(অষ্টম পদ), 40(নবম পদ), 42(দশম পদ), 44(১১তম পদ)

১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 2 ও 14 হলে,
সাধারণ অন্তর
= ২য় পদ - ১ম পদ
= 14 - 2
= 12

অতএব, ৩য় পদ
= ২য় পদ + সাধারণ অন্তর
= 14 + 12
= 26
---------------------------------
শর্টকাটঃ
২ ও ১৪ এর পার্থক্য ১২
অতএব, ৩য় পদ = ১৪ + ১২ = ২৬

প্রথম পদ = ৫
সাধারণ অন্তর = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ ১৬৫ হলে, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ ১৬৫ = ৫ + (n - ১)৪
⇒ n - ১ = ১৬০/৪ = ৪০
⇒ n = ৪১
------------------------
সংক্ষেপে, 
নির্ণেয় পদ = (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারন অন্তর + ১ =  (১৬৫ - ৫)/৪ + ১ = ১৬০/৪ + ১ = ৪০ + ১ = ৪১

n তম পদ = a + (n - 1)d
[ যেখানে, a = ১ম পদ এবং d = সাধারণ অন্তর]

নবম পদটি ১৪২ হলে,
১৪২ = a + ৮ × ১০
⇒ a = ১৪২ - ৮০
        = ৬২

অতএব, ৬তম পদ
= a + (6 - 1)d
= ৬২ + ৫ × ১০
= ৬২ + ৫০
= ১১২
------------------------------------
সংক্ষেপে,
নবম পদ ১৪২
অষ্টম পদ ১৩২ [ কারণ পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য ১০]
৭ম পদ ১২২
ষষ্ঠ পদ ১১২

১ম পদ = ৩
সাধারণ অন্তর = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১০৩
n তম পদ = a + (n - 1)d[ যেখানে, a = ১ম পদ এবং d = সাধারণ অন্তর]
⇒ ১০৩ = ৩ +  (n - ১)৪
⇒ n - 1 = (১০৩ - ৩)/৪ = ২৫
⇒ n = ২৫ + ১ = ২৬
২৬ পদের সমষ্টি = ২৬/২{২ × ৩ + (২৬ - ১)৪} = ১৩(৬ + ১০০) = ১৩ × ১০৬ = ১৩৭৮

log3 + log9 + log27 + --- --- --- ২০তম পদ পর্যন্ত
= log3 + log3² + log3³ + --- --- --- + log3²⁰
=  log3 + 2log3 + 3log3 + --- --- --- + 20log3
= (1 + 2 + 3 + --- --- --- + 20)log3
= {20(20 + 1)/2}log3 = 210 log3

1² + 2² + 3² + --- --- --- + x² = x(x + 1)(2x + 1)/6

প্রথম পদ = ২০ ও সাধারণ অন্তর = ২৫ - ২০ = ৫
অতএব, ১৬০ = ২০ + (ক - ১)৫
ক - ১ = (১৬০ - ২০)৫ = ১৪০/৫ = ২৮
ক = ২৯
----------------------------------------------------------------
শর্টকাটঃ
মোট পদ আছে = (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর + ১ = (১৬০ - ২০)/৫ + ১ = ২৯ টি 

প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে,
চতুর্থ পদটি 40
⇒ ar³ = 40
ষষ্ঠ পদটি 160
⇒ ar⁵ = 160
অতএব, ar⁵ ÷ ar³ = 160/40 =4
⇒ r = 2
সাধারণ অনুপাত 2
-----------------------------------
শর্টকাটঃ
r^{6 - 4} = 160/40  [ 6 = ষষ্ঠ পদ এবং 4 = ৪র্থ পদ  ; r = সাধারণ অনুপাত ]
r² = 4
r = 2

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, 
২য় পদ = ar = 48
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 3/4
অতএব, ar⁴/ar = 3/4 ÷ (48) = 1/64 = (1/4)³
⇒ r³ = (1/4)³
⇒ r = 1/4
a = 48 × 4 = 192
১ম পদটি 192
-----------------------------------------------
সংক্ষেপে, 
সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে,
r^{5 - 2} = (3/4) ÷ 48   [ 5 = ৫ম পদ এবং 2 = ২য় পদ  ; r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ r³ = 1/64 = (1/4)³ ⇒ r = 1/4    
১ম পদ = ২য় পদ/r = 48 × 4 = 192

1/√2, 1, √2, --- --- --- ধারাটির  কোন পদ 16 হবে?
সাধারণ অনুপাত = 1/(1/√2) = √2
n তম পদ 16 হলে, 
ar^{n - 1} = 16 [ যেখানে a = প্রথম পদ ও r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ (1/√2)(√2)^{n - 1} = 16
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2
                   = 2 × 2 × 2 × 2 × √2
                   = 2⁴ × √2
                   = (√2)⁸ × √2
                   = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 10
--------------------------------------------------------------
shortcut:
সাধারণ অনুপাত √2 হওয়ায়, 
1/√2, 1, √2, --- --- ---
২য় পদ = 1 এর জন্য
৪র্থ পদ = 2 
ষষ্ঠ পদ = 4 
অষ্টম পদ = 8
দশম পদ = 16

ধারাটি গুণোত্তর ধারা। 
প্রথম পদ, a = 128 এবং সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
৮ম পদ = ar⁷ = 128 × (1/2)⁷ = 128/128 = 1
-------------------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
ধারাটিতে অর্ধেক করে কমেছে। 
অতএব, ধারাটিঃ 128(১ম পদ), 64(২য় পদ), 32(৩য় পদ), 16(৪র্থ পদ), 8(৫ম পদ), 4(ষষ্ঠ পদ), 2(৭ম পদ), 1(অষ্টম পদ)

log4 + log64 + log262144 + --- --- --- 10তম পদ পর্যন্ত
= log2² + log2⁶ + log2¹⁸ + --- --- --- 10তম পদ পর্যন্ত
= 2log2 + 6log2 + 18log2 + --- --- --- 10তম পদ পর্যন্ত
= (2 + 6 + 18 + --- --- --- 10তম পদ পর্যন্ত)log2
2 + 6 + 18 + --- --- --- 10তম পদ পর্যন্ত ধারাটির জন্য
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, q = 6/2 = 18/6 = 3
সমষ্টি = {2(3¹⁰ - 1)/(3 - 1)} log2
= {2(3¹⁰ - 1)/2} log2
= (3¹⁰ - 1)log2

অপশনে সঠিক উত্তর নেই। তাই উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ
= cos(5 × π/2)
= cos(2π + π/2)
= cos(π/2)
= cos90°
= 0
-----------------------------------
সংক্ষেপে, 
cos(nπ/2) অনুক্রমটির বিজোড় পদ = 0 [ n বিজোড় হলে ]
অতএব, cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = 0

কোন ধারার n তম পদ n^{2n - 1} হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 1^{2 × 1 - 1} = 1
২য় পদ = 2^{2 × 2 - 1} = 8
৩য় পদ = 3^{2 × 3 - 1} = 243
১ম তিনটি পদের যোগফল = 1 + 8 + 243 = 252
--------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
১ম তিনটি পদের যোগফল
= 1^{2 × 1 - 1} + 2^{2 × 2 - 1} + 3^{2 × 3 - 1} = 1 + 8 + 243 = 252

n ∈ N হলে, 1 - 1 + 1 - 1 + --- --- --- ধারাটির (2n + 1) পদের সমষ্টি নির্ণয়ঃ
n= 1 হলে, (2n + 1) = 3
n = 2 হলে, (2n + 1) = 5
n = 3 হলে, (2n + 1) = 7
n = 3 হলে, (2n + 1) = 9
--------------------------
অতএব, n এর মান যা হোক না কেন (2n + 1) সর্বদা বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা
১ম পদ = 1
১ম তিন পদের সমষ্টি = 1 - 1 + 1 = 1
১ম পাঁচ পদের সমষ্টি = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1
----------------------------------------------
----------------------------------------------
অতএব, ধারাটির (2n + 1) পদের সমষ্টি = 1
-----------------------------------------------------------------
সংক্ষেপে, 
1 - 1 + 1 - 1 + --- --- ---
উপর্যুক্ত ধারার ক্ষেত্রে, বিজোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি সর্বদা 1
জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি সর্বদা 0

একটি ধারার n তম পদ m²ⁿ - 5
অতএব, ধারাটির ২য় পদ = m^{2 × 2} - 5 = m⁴ - 5
এখন, m⁴ - 5 = 76
⇒ m⁴ = 76 + 5
⇒ m⁴ = 81
⇒ m⁴= 3⁴
⇒ m = 3

1 + 3 + 5 + -- --- --- ধারাটির n পদের সমষ্টি = n²