প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান:
সহমৌলিক সংখ্যা( Co-Prime Numbers): যদি দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হয় তাহলে তাদেরকে পরস্পর Co-Prime বা সহ মৌলিক সংখ্যা বলে।

অপশনগুলোর মধ্যে 'ঘ' এর ৫২ ও ৯৭ সংখ্যাটির মধ্যে ৯৭ সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ায় ৫২ ও ৯৭ এর গ.সা.গু ১। কারণ এদের মধ্যে কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই। কিন্তু অপর তিনটি অপশনের সংখ্যাদ্বয়ের সাধারণ গুণনীয়ক ৩।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 31
⇒ (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 31
⇒ 2x + 1 = 31 
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15

∴ একটি সংখ্যা= 15 এবং অপর সংখ্যাটি = x + 1 = 15 + 1 = 16

শর্টকাট:
বড় সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য + 1)/2
ছোট সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য - 1)/2

∴ বড় সংখ্যাটি = (31 + 1)/2 = 16 এবং ছোট সংখ্যাটি = (31 - 1)/2 = 15

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবথেকে বড় ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
২/৩ = ০.৬৬৬
৩/৮ = ০.৩৭৫
১/২ = ০.৫০০
১/৪ = ০.২৫০

∴ সবথেকে বড় ভগ্নাংশটি হলো ২/৩

সমাধান:
মনে করি, সুলেমানের মোট সম্পত্তির পরিমান = ১ অংশ

জমি ক্রয় করেন = ৩/৭ অংশ টাকা দিয়ে
এবং বাড়ি ক্রয় করেন = (৩/৭) × (১/৩) = ১/৭ অংশ টাকা দিয়ে।

∴ জমি ও বাড়ি ক্রয় করার পর অবশিষ্ট রইল = ১ - (৩/৭) - (১/৭) অংশ
= {(৭ - ৩ - ১)/৭}
= (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭ অংশ

সমাধান:
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা হবে ৭২ এবং ১০৮ এর গ. সা. গু
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

∴ গ. সা. গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ 

সুতরাং নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা ৩৬ টি।

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৫/১৩) = ৮/১৩ অংশ

এখন,
৮/১৩ অংশ = ৯৬ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = ৯৬ × (১৩/৮) = ১৫৬ পৃষ্ঠা

সমাধান:
৩৬৫ - ৫ = ৩৬০ এবং ৪৬৩ - ৭ = ৪৫৬
সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ. সা. গু ।

এখানে,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
এবং ৪৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৯

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

নোটঃ
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

সমাধান:
এখানে, সাধারণ বিয়োগফল = ৩ - ১ = ২, ৪ - ২ = ২, ৫ - ৩ = ২ এবং ৬ - ৪ = ২

আবার,
৩,৪,৫ এবং ৬ সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৬০ - ২ = ৫৮

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(৮০ × x) = ১২ × ১৮০
⇒ x = (১২ × ১৮০)/৮০
= ২৭

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ১১টি সংখ্যার যোগফল = ৩৯৬

প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫
∴ এদের সমষ্টি = (২৮.৫ × ৬) = ১৭১

শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫
∴ এদের সমষ্টি = (৪৩.৫ × ৬) = ২৬১

এখানে, মোট ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৬১ + ১৭১) = ৪৩২

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = (৪৩২ - ৩৯৬) = ৩৬

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ২/৫ অংশ পানি পূর্ণ আছে। ট্যাংকটিতে আরও ৩২ লিটার পানি যোগ করা হলে এটি ৬/৭ অংশ পূর্ণ হবে। ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (২ক/৫) + ৩২ = (৬ক/৭)
⇒ ৩২ = (৬ক/৭) - (২ক/৫)
⇒ ৩২ = (৩০ক - ১৪ক)/৩৫
⇒ ৩২ = ১৬ক/৩৫
⇒ ২ = ক/৩৫
∴ ক = ৭০ 

∴ ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা ৭০ লিটার।

সমাধান:
১০ ঘন্টা কাজ করলে প্রথম ৮ ঘন্টার জন্য ১০ টাকা হারে = ৮ × ১০ = ৮০ এবং
পরের ২ ঘন্টা ১৫ টাকা হারে মোট = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা
∴ মোট আয় = ৮০ + ৩০ = ১১০ টাকা

∴ ১০ ঘন্টায় গড় আয় = ১১০ ÷ ১০ = ১১ টাকা।

সমাধান:
এখানে, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৬x এর গ. সা. গু = x ∴ গ. সা. গু. x = ৪

এখন,
সাধারণ নিয়মে প্রথম সংখ্যটি ৫ × ৪ = ২০ এবং ২য় সংখ্যাটি ৬ × ৪ = ২৪

∴ ২০ ও ২৪ এর ল. সা. গু = ১২০

সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (১০০ × ৭০) = ৭০০০
এবং ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০) = ৪৫০০

∴ ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৬০) = ৪০ জন
∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০) = ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০ = ৬২.৫

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ 0, 1, 2, -1, -2, √2, √5, 22/7

অপশন ক, গ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (খ) এর 3+√-4 একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ √-4 বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা। 

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = ৮০
এবং (x - y)² = ১৬

এখন, 
(x - y)² = ১৬
⇒ x² - ২xy + y² = ১৬
⇒ x² + y² - ২xy = ১৬
⇒ ৮০ - ২xy = ১৬ [x² + y² = 80] 
⇒ ২xy = ৮০ - ১৬ = ৬৪
⇒ xy = ৩২

সমাধান:
(এভাবে বছরের সাথে মাসও থাকলে একসাথে গুণ করে মাসগুলোকে বছর বানাতে হবে)

২০ জনের মোট বয়স = ২০ × ১২ = ২৪০ বছর।

নতুন ৪ জন সহ ২০ + ৪ = ২৪ জনের মোট বয়স = ২৪ × (১১ বছর ৮ মাস) [যেহেতু নতুন ৪ জন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে]

= ২৬৪ বছর ১৯২ মাস 
 ২৬৪ বছর + ১৬ বছর (১৯২ মাসে ১৬ বছর হয়)
= ২৮০ বছর 

এখন নতুন ৪ জনের বয়স = ২৮০ - ২৪০ = ৪০ বছর।

সুতরাং নতুন ৪ জনের গড় বয়স = ৪০ ÷ ৪ = ১০ বছর