১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের বেগ ঘন্টায় 72 কি.মি. এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য 180 মিটার হলে 320 মিটার একটি প্লাট ফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটি কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 180 মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 320 মিটার
∴ মোট পথ = 180 + 320 = 500 মিটার

বেগ = 72 কি.মি./ঘন্টা
= 72 × (1000/3600)
= 72 × (5/18)
= 20 মিটার/সেকেন্ড

আমরা জানি, 
সময় = পথ/বেগ
= 500/20
= 25 সেকেন্ড

∴ ট্রেনটি 320 মিটার প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 25 সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির গতি সেকেন্ডে ১৫ মিটার হলে, গাড়িটির ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
গাড়ির গতি = ১৫ মিটার/সেকেন্ড
= ১৫ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
= (১৫ × ১৮)/৫
= ৫৪ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, গাড়িটির ঘন্টায় গতিবেগ ৫৪ কি.মি. প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৬, ৯ ও ১৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চার সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
প্রথম নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/৬ অংশ 
দ্বিতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/৯ অংশ 
তৃতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/১৮ অংশ 

∴ তিনটি নল একই সাথে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = {(১/৬) + (১/৯) + (১/১৮)} অংশ 
= (৩ + ২ + ১)/১৮ অংশ 
= ৬/১৮ অংশ 
= ১/৩ অংশ 

চৌবাচ্চার ১/৩ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৩) ঘণ্টায় 
= ৩ ঘণ্টায় ।

প্রশ্ন: ৬ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। যদি শিক্ষককে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে তাদের সকলের গড় বয়স ১ বছর বেড়ে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৬ জন ছাত্রের গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের মোট বয়স = ১৫ × ৬ = ৯০ বছর

আবার, 
শিক্ষককে যোগ করলে মোট ৭ জনের গড় বয়স = ১৫ + ১ = ১৬ বছর
∴ ৭ জনের মোট বয়স = ১৬ × ৭ = ১১২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = ৭ জনের মোট বয়স - ৬ জন ছাত্রের মোট বয়স   
= ১১২ - ৯০   
= ২২ বছর

সুতরাং, শিক্ষকের বয়স ২২ বছর। 

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০ সেকেন্ড সময় লাগে, ঐ ট্রেনের ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ১৫০ + ২৫০ = ৪০০ মিটার
এবং সময় ৩০ সেকেন্ড।

আমরা জানি, 
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪০০/৩০
= ৪০/৩ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০/৩) × (১৮/৫) কি.মি./ঘণ্টা   ; [১ মিটার/সেকেন্ড = ১৮/৫ কি.মি./ঘণ্টা] 
= (৪০ × ১৮)/(৩ × ৫)
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের বেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ ১৫ মাইল/ঘন্টা এবং স্রোতের গতিবেগ ৩ মাইল/ঘন্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৪ ঘন্টায় কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ = ১৫ মাইল/ঘণ্টা
স্রোতের গতিবেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা
সময় = ৪ ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী গতিবেগ
= নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৫ + ৩
= ১৮ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
 দূরত্ব = গতিবেগ × সময়
= ১৮ × ৪
= ৭২ মাইল
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘণ্টায় নৌকাটি ৭২ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৫ মাইল বেগে কোন স্থানে গেল, এবং ঘন্টায় ৩ মাইল বেগে ফিরে আসল, যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যাওয়ার বেগ = ৫ মাইল/ঘণ্টা
ফেরার বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = ২xy/(x + y)
= (২ × ৫ × ৩)/(৫ + ৩)
= ৩০/৮
= ১৫/৪ 
= ৩.৭৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ যাতায়াতে তার গড় গতি ৩.৭৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ৪ ঘণ্টায়, ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা খালি হয় ৮ ঘণ্টায়। নল দুটি খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/৪ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় খালি হয় ১/৮ অংশ

নল দুটি একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে (১/৪ - ১/৮) অংশ
= ১/৮ অংশ

∴ ১/৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায় 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে = ৮ ঘণ্টায়

সুতরাং, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি ৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে।

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার ও ২০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন একই দিকে যথাক্রমে ৬০ কি.মি./ঘণ্টা ও ৭৮ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চলছে। দ্রুত ট্রেনটি ধীর ট্রেনটিকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধীরগতির ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
দ্রুতগতির ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার
ধীর ট্রেনের বেগ = ৬০ কি.মি./ঘণ্টা
দ্রুত ট্রেনের বেগ = ৭৮ কি.মি./ঘণ্টা

∴ আপেক্ষিক বেগ = দ্রুত ট্রেনের বেগ - ধীর ট্রেনের বেগ  ; [যেহেতু দুটি ট্রেন একই দিকে চলছে]
= (৭৮ - ৬০) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৮ কি.মি./ঘণ্টা
= ১৮ × (৫/১৮) মি./সে.
= ৫ মি./সে.

আবার, 
দ্রুত ট্রেনকে ধীর ট্রেনকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে যে দূরত্ব পাড়ি দিতে হবে,
= দ্রুত ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ধীর ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= (২০০ + ১৫০) মিটার
= ৩৫০ মিটার

আমরা জানি, 
সময় = দূরত্ব/আপেক্ষিক বেগ   
= ৩৫০/৫
= ৭০ সেকেন্ড

সুতরাং, দ্রুত ট্রেনটি ধীর ট্রেনটিকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে ৭০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং ঢাকা হতে সকাল ৭ টান ছেড়ে দিয়ে বিকাল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৩০০ কিলোমিটার
ঢাকা থেকে ছাড়ে সকাল ৭:০০ টায়
এবং চট্টগ্রাম পৌঁছায় বিকাল ৩:০০ টায় 

∴ মোট সময় = ৮ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়   
= ৩০০/৮
= ৭৫/২ ; [৪ দ্বারা ভাগ করে পাই]
= ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ৪৮ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি, প্রস্থ ৪ মি হলে উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার আয়তন = ৪৮ ঘনমিটার
দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
প্রস্থ = ৪ মিটার

আমরা জানি, 
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
⇒ ৪৮ = ৮ × ৪ × উচ্চতা
⇒ ৪৮ = ৩২ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৪৮/৩২
∴ উচ্চতা = ১.৫ মিটার

সুতরাং, চৌবাচ্চার উচ্চতা ১.৫ মিটার।

প্রশ্ন: ক-এর বয়স ৩৬ বছর এবং খ-এর বয়স ১৬ বছর। কত বছর পরে ক-এর বয়স খ-এর বয়সের দ্বিগুণ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক-এর বর্তমান বয়স = ৩৬ বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = ১৬ বছর
চাওয়া: কত বছর পরে ক-এর বয়স = খ-এর বয়সের 
ধরি, t বছর পরে দ্বিগুণ হবে।

এখন, 
ক-এর বয়স = ৩৬ + t
খ-এর বয়স = ১৬ + t

প্রশ্নমতে,
৩৬ + t = ২ × (১৬ + t)
⇒ ৩৬ + t = ৩২ + ২t
⇒ ২t - t = ৩৬ - ৩২
∴ t = ৪ বছর

∴ ৪ বছর পরে ক-এর বয়স (৪০ বছর) হবে খ-এর বয়সের (২০ বছর) দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১২ সেকেন্ডে একটি খুঁটি এবং ৩০ সেকেন্ডে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার হলে, প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনটি একটি খুঁটি অতিক্রম করে ১২ সেকেন্ডে
একই ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে ৩০ সেকেন্ডে
এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

এখন, 
খুঁটি অতিক্রম করার বেগ = দূরত্ব/সময়
= ২০০/১২
= ২০০/১২
= ৫০/৩ মি./সে.

আবার, 
৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০/৩ মিটার
∴ ৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৫০ × ৩০)/৩ = ৫০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ৫০০ মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ ৫০০ = ২০০ + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ - ২০০ মিটার
∴ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘন্টায় ৪৫ মাইল বেগে ২০ মিনিট চলার পর, ঘণ্টায় ৬০ মাইল বেগে ৪০ মিনিট চলে। সম্পূর্ণ পথের জন্য গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম অংশ, ৪৫ মাইল/ঘণ্টা বেগে ২০ মিনিট চলে 
দ্বিতীয় অংশ, ৬০ মাইল/ঘণ্টা বেগে ৪০ মিনিট চলে

এখন, 
২০ মিনিট = ২০/৬০ = ১/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৪৫ × (১/৩) = ১৫ মাইল
এবং 
৪০ মিনিট = ৪০/৬০ = ২/৩ ঘণ্টা
∴ দূরত্ব = ৬০ × (২/৩) = ৪০ মাইল

∴ মোট দূরত্ব = ১৫ + ৪০ = ৫৫ মাইল
এবং মোট সময় = ২০ + ৪০ = ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়   
= ৫৫ ÷ ১   
= ৫৫ মাইল/ঘণ্টা

∴ সম্পূর্ণ পথের গড় গতিবেগ ৫৫ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৮ মাইল যায় এবং ৬ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৮ + ১৮ = ৩৬ মাইল
মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ৩৬/৯ মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা

সুতরাং, তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ ৪ মাইল।

প্রশ্ন: মাতা ও দুই কন্যার বর্তমান গড় বয়স ২০ বছর। ২ বছর পর দুই কন্যার গড় বয়স ১২ বছর হলে মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও দুই কন্যার বর্তমান গড় বয়স = ২০ বছর
∴ তাদের মোট বয়স = (২০ × ৩) = ৬০ বছর

২ বছর পর,
দুই কন্যার বয়সের গড় = ১২ বছর
দুই কন্যার মোট বয়স = ১২ × ২ = ২৪ বছর

অর্থাৎ দুই কন্যার বর্তমান বয়স = ২৪ - (২ + ২) = ২৪ - ৪ = ২০ বছর

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ২০ = ৪০ বছর

সুতরাং, মাতার বর্তমান বয়স ৪০ বছর।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪৫ মিনিটে এক শহর থেকে আরেক শহরে পৌঁছায়। দুটি শহরের দূরত্ব ৬০ মাইল হলে, ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ মাইল
সময় = ৪৫ মিনিট = (৪৫/৬০) ঘণ্টা
= ৩/৪ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= ৬০/(৩/৪)
= ৬০ × (৪/৩)
= (৬০ × ৪)/৩
= ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ১২ ও ৬ কিলোমিটার। স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নৌকার গতি (স্থির জলে) = ১২ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
স্রোতের গতি = ৬ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
পথের দৈর্ঘ্য = ৪৮ কিলোমিটার

আমরা জানি, 
প্রতিকূলে গতি = নৌকার গতি - স্রোতের গতি
= ১২ - ৬
= ৬ কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির সময় লাগবে = ৪৮/৬ ঘণ্টা 
= ৮ ঘণ্টা। 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + (২৪০ - ক)/৪০ = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ সে ৮০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১৬০ কি.মি গিয়েছিল।

প্রশ্ন: তিন ব্যক্তির বর্তমান বয়সের অনুপাত ৪ : ৭ : ৯। আট বছর আগে ওদের বয়সের যোগফল ছিল ৫৬ বছর। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
তিন ব্যক্তির বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৪ : ৭ : ৯
আট বছর আগে তাদের বয়সের যোগফল = ৫৬ বছর

ধরি, 
বর্তমানে তাদের বয়স যথাক্রমে ৪ক, ৭ক, ৯ক বছর
আট বছর আগে তাদের বয়স ছিল
(৪ক - ৮), (৭ক - ৮), (৯ক - ৮)

প্রশ্নানুসারে, 
(৪ক - ৮) + (৭ক - ৮) + (৯ক - ৮) = ৫৬
⇒ ৪ক + ৭ক + ৯ক - ৮ - ৮ - ৮ = ৫৬
⇒ ২০ক - ২৪ = ৫৬
⇒ ২০ক = ৫৬ + ২৪
⇒ ২০ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২০ 
∴ ক = ৪ বছর

সুতরাং বর্তমান বয়সগুলো,
১ম ব্যক্তি = ৪ক = ৪ × ৪ = ১৬ বছর
২য় ব্যক্তি = ৭ক = ৭ × ৪ = ২৮ বছর
৩য় ব্যক্তি = ৯ক = ৯ × ৪ = ৩৬ বছর

∴ তাদের বর্তমান বয়স যথাক্রমে ১৬, ২৮ ও ৩৬ বছর