প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

মনেকরি 
ছাত্র সংখ্যা = ক 

প্রশ্নমতে , 
ক × ক  = ১৬৮১
ক^২ = ৪১^২
ক = ৪১ 

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, 3x, 4x ও 5x

প্রশ্নমতে,
3x + 4x +5x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°

বৃহত্তম কোণের মান = 5 × 15°
                               =75°

2a + 3b = 1 .............(1)
5a - 2b = - 7 .............(2)

(1)নং × 5 - (2)নং × 2 ⇒
10a +15b - 10a + 4b = 5 + 14
19b =19
b = 1

b এর মান (1)নং  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a +3.1 =1
2a = 1 - 3
2a = - 2
a = - 1

∴(a,b) = (-1, 1)

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x

প্রশ্নমতে,
(x/2) + 10 = 2x - 26
2x - (x/2) = 26 + 10
(4x - x)/2 =36
3x/2 = 36
x = (36 × 2)/3
x = 24

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
                                     = 18 × 8
                                     = 144 মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক² বর্গ মি.

ক² =144
ক = √144
    = 12

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
                          = 12√2 মি.

ধরি 
 সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে 
x × 60% - 60 = 72
x × 60/100 = 72 + 60
6x/10 = 132
x = (132 × 10)/6
x = 220

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
 πr² = 20π
∴ r = 2√5

বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
                         =2π. 2√5
                        = 4π√5

9. 2ⁿ - 2 . 2^{n - 1}
= 9. 2ⁿ - 2 . 2ⁿ .2 ^{- 1}
=  9. 2ⁿ - 2 . 2ⁿ .(1/2)
= 9. 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ ( 9 - 1)
= 2ⁿ .8
= 2ⁿ . 2³
= 2^{n + 3}

বৃত্তের যেকোনাে দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে।

আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি =180°

115° কোণের সম্পূরক কোণ =180°-115°=65°

(2²)^{a + 3} = 256
2^{2a + 6} = 2⁸
2a + 6 = 8 
2a = 8 - 6
2a = 2 
a = 1

1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী। 
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।  
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান। 

মনেকরি, 
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব x
প্রকৃত ভগ্নাংশের হর y

 ভগ্নাংশটি = x/y

শর্তমতে,
x + y = 14 ........ (1)
y - x = 8 ..............(2)

(1)নং + (2)নং ⇒
x + y + y - x = 14 + 8 
2y = 22
y = 11`

(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + 11 = 14 
x = 14 - 11
x = 3 

 ভগ্নাংশটি = 3/11

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ 144° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = 180° - 144° 
                                                       = 36°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = 360°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = 360°/36°
                                                       = 10

ΔABC - এ ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
36° + 72° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 108°
∠C = 72°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে। 

∴ ΔABC - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

ধরি
 একটি সংখ্যা x এবং
অপর সংখ্যা x+1

তাহলে,
(x + 1)² - x² = 17
x² + 2x + 1² - x² = 17
বা, 2x +1 = 17
2x = 17 - 1
2x = 16
 x = 8

একটি সংখ্যা 8 এবং
অপর সংখ্যা 8 + 1 = 9 

সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি = 8² + 9²
                                      = 64 + 81 
                                      = 145
 

3x - 2y = 5............. (1)
2x + 3y = 12 ..............(2)
 
(1)নং × 3 + (2)নং × 2⇒
9x - 6x + 4x + 6x = 15 + 24
13x = 39 
x = 39/13 
x = 3

(2)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12 
3y = 12 - 6 
3y = 6 
y = 6/3 
y = 2 

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3,2)

 

     
আমরা জানি 
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে  ∠BAD ও  ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।  
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°
∠BAD + ∠BCD =180°
85° + ∠BCD =180°
 ∠BCD = 180° - 85°
∠BCD = 95°

ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - 542 = 630 - x
বা, x + x = 630 + 542
বা, 2x = 1172
বা,  x = 1172/2
       x = 586