খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: a - (1/a) = 5 হলে, {a + (1/a)}² এর মান কত?

সমাধান:
{a + (1/a)}² = {a - (1/a)}² + 4 · a · (1/a)
= 5² + 4
= 25 + 4
= 29

প্রশ্ন: (4^{a + 4} - 4^{a + 3})/(4^{a + 2} ÷ 4) = কত?

সমাধান:
(4^{a + 4} - 4^{a + 3})/(4^{a + 2} ÷ 4)
= (4^a · 4⁴ - 4^a · 4³)/(4^{a + 2 - 1})
= (4^a · 4⁴ - 4^a · 4³)/(4^a · 4¹)
= {4^a(4⁴ - 4³)}/4^a · 4¹
= (256 - 64)/4
= 192/4
= 48

প্রশ্ন: C = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² + 2 < 16} হলে সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান:
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ 1, 2, 3, 4, 5, . . . .
এখানে,
x = 1 হলে, x² + 2= 1² + 2= 3; যা 16 এর চেয়ে ছোট
x = 2 হলে, x² + 2= 2² + 2 = 6; যা 16 এর চেয়ে ছোট
x = 3 হলে, x² + 2= 3² + 2 = 11; যা 16 এর চেয়ে ছোট
x = 4 হলে, x² + 2 = 4² + 2= 18; যা 16 এর চেয়ে বড়

∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ 1,2 এবং 3
নির্ণেয় সেট, C = {1, 2, 3}

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 30² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {30(30 + 1)(2 ⋅ 30 + 1)}/6 [দেওয়া আছে, n = 30]
= (30 · 31 · 61)/6
= 9455

∴ ধারাটির সমষ্টি 9455

প্রশ্ন: 3p² - p - 14 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3p² - p - 14
= 3p² - 7p + 6p - 14
= p(3p - 7) + 2(3p - 7)
= (p + 2)(3p - 7)

প্রশ্ন: log_p(1/216) = - 3 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
log_p(1/216) = - 3
⇒ p^{- 3} = 1/216
⇒ p^{- 3} = 1/6³
⇒ p^{- 3} = 6^{- 3}
∴ p = 6

প্রশ্ন: DIRECTORATE শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
DIRECTORATE শব্দটিতে মোট বর্ণ = ১১ টি
R আছে = ২ টি
E আছে = ২ টি
T আছে = ২ টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ১১!/(২! × ২! × ২!)
= ১১!/৮ 

প্রশ্ন: 2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (2 + 8)/2 = 5

এখন,
2 < x < 8
⇒ 2 - 5 < x - 5 < 8 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
⇒ - 3 < x - 5 < 3
⇒ |x - 5| < 3

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 5| < 3

প্রশ্ন: a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ।
∴ সমান্তর ধারাটি a + b + c + d

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার যেকোনো পদ এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী পদের গাণিতিক গড়ের সমান।
৩য় পদ = (২য় পদ + ৪র্থ পদ)/২
∴ c = (b + d)/2

প্রশ্ন: মাহমুদুল্লাহ রিয়াদ একটি ক্রিকেট ম্যাচে ২০ টি ৪ ও ৬ এর মাধ্যমে ৯৪ রান করে। তার ৬ এর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
৪ এর সংখ্যা = ক
৬ এর সংখ্যা = ২০ - ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬(২০ - ক) = ৯৪
⇒ ৪ক + ১২০ - ৬ক = ৯৪
⇒ - ২ক = ৯৪ - ১২০
⇒ - ২ক = - ২৬
⇒ ক = ২৬/২
∴ ক = ১৩

∴ মাহমুদুল্লাহ রিয়াদের ৬ এর সংখ্যা = ২০ - ১৩ = ৭ টি

প্রশ্ন: ১৫০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
১৫০ = ২ × ৩ × ৫ × ৫
∴ ২, ৩, ৫ ও ৫ এর প্রচুরক = ৫

প্রশ্ন: a³ - b³ = 37 এবং a - b = 1 হলে, ab = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
⇒ 37 = 1³ + 3 · ab · 1
⇒ 3ab = 37 - 1
⇒ ab = 36/3
∴ ab = 12

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি চাকরির পরীক্ষায় একজন প্রার্থীকে 7 টি প্রশ্নের মধ্যে 4 টি প্রশ্নের উত্তর লিখতে হবে। একজন পরিক্ষার্থী কতভাবে 4 টি প্রশ্ন বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সমাবেশ সংখ্যা = ⁷C₄ 
= 7!/4!(7 - 4)!
= 7!/4! × 3!
= (7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 3 × 2 × 1)
= 35

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, তিনবারই Tale আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ৮টি 

অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ১ টি  (TTT)

∴  সম্ভাবনা = ১/৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - 3 · a² · 2 + 3 · a · 2² - 2³ - a + 2
= (a - 2)³ - 1(a - 2)
= (a - 2){(a - 2)² - 1}
= (a - 2)(a - 2 + 1)(a - 2 - 1)
= (a - 2)(a - 1)(a - 3)

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত?

সমাধান:
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5 log₂2 + 3 log₂2 
= (5 × 1) + (3 × 1)
= 5 + 3
= 8

প্রশ্ন: |2p - 3| ≤ 1 হলে,p এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|2p - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2p - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2p - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2p ≤ 4
⇒ 1 ≤ p ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ p এর সর্বনিম্ন মান 1.

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = ar⁶
= 27 × (1/3)⁶
= 27/729
= 1/27

প্রশ্ন: 2a + 6b = 10 এবং 3a - 4b = 2 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
2a + 6b = 10 .........(1)
3a - 4b = 2 ...........(2)

{(2) × 2} - {(1) × 3} ⇒
6a - 8b - 6a - 18b = 4 - 30
⇒ 26b = - 26
∴ b = 1

b এর মান (1) নং এ বসাই,
2a = 10 - (6 × 1)
⇒ a = 4/2
∴ a = 2

∴(a, b) = (2, 1)

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে ৭ টি আপেল, ১৩ টি কমলা ও ১৯ টি পেয়ারা আছে। দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলো। ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ঝুড়িতে মোট ফলের সংখ্যা = ৭ + ১৩ + ১৯ টি = ৩৯ টি
কমলা আছে = ১৩ টি 

∴ ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৩৯ 
= ১/৩ টি

∴ ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² - ab + b² এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 27^{2a + 3} = 3^{3a + 6} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
27^{2a + 3} = 3^{3a + 6} 
⇒ 3^{3(2a + 3)} = 3^{3a + 6}
⇒ 3^{6a + 9} = 3^{3a + 6}
⇒ 6a + 9 = 3a + 6
⇒ 6a - 3a = 6 - 9
⇒ 3a = - 3
∴ a = - 1

প্রশ্ন: 0, 9, 4, 2, 3, 5 অঙ্কগুলোর প্রত্যেকটি একবার ব্যবহার করে অঙ্কগুলি দ্বারা ছয় অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720
0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (720 - 120)
= 600

প্রশ্ন: p³ + 3p + 36 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = p³ + 3p + 36
∴ f(- 3) = (- 3)³ + 3 · (- 3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0

∴ (p + 3), f(p) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 1 থেকে 40 পর্যন্ত স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

1 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {40 × (40 + 1)}/2
= (40 × 41)/2
= 820

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂√(3 ⋅ 2) + log₂√2/√3
= log₂√3 + log₂√2 + log₂√2 - log₂√3
= 2 log₂√2
= 2 log₂2^1/2
= 2 ⋅ (1/2) log₂2
= 1 ⋅ 1
= 1

প্রশ্ন: A = {2,  4, 6, 8} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅ এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
A = {2,  4, 6, 8}
উপাদানের সংখ্যা, n = 4

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15
∴ A এর প্রকৃত উপসেট 15 টি।

প্রশ্ন: |2x + 1| > 5 এর সমাধান কোনটি ?

সমাধান:
2x + 1 > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা,
2x + 1 > 5
⇒ 2x + 1 - 1 > 5 - 1
⇒ 2x > 4
⇒ x > 2

আবার, 2x + 1 < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা,
⇒ -2x - 1 > 5
⇒ -2x - 1 + 1 > 5 + 1
⇒ -2x > 6
⇒ x < -3 [ -1 দ্বারা গুণ করে এবং 2 দিয়ে ভাগ করে ]

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < -3 অথবা x > 2

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + .......... + 256 ধারাটি একটি-

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা: কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r হলে,
n তম পদ (সাধারণ পদ) = ar^n-1

উক্ত ধরাটির ক্ষেত্রে,
8/4 = 2
16/8 = 2
যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: যদি p = 3r - 7 এবং 3r + 5 = 26 হয় তবে p এর মান কত?

সমাধান:
3r + 5 = 26
⇒ 3r = 26 - 5
⇒ 3r = 21
∴ r = 7

এখন, r = 7 হলে,
p = 3r - 7
= 3(7) - 7
= 14
∴ p এর মান 14

প্রশ্ন: a = 1 + √2 হলে a³ = কত?

সমাধান:
a = 1 + √2
⇒ a³ = (1 + √2)³
= 1³ + 3 · 1² · √2 + 3 · 1 · (√2)² + (√2)³
= 1 + 3√2 + 6 + 2√2
= 7 + 5√2

প্রশ্ন: 7 জন বিজ্ঞান শাখার ছাত্র ও 6 জন মানবিক শাখার ছাত্র থেকে 2 জন বিজ্ঞান ও 1 জন মানবিক শাখার ছাত্রকে নিয়ে কত উপায়ে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
7 জন বিজ্ঞান শাখার ছাত্র থেকে 2 জন ছাত্র বেছে নেওয়ার উপায় = ⁷C₂ = 21
6 জন মানবিক শাখার ছাত্র থেকে 1 জন ছাত্র বেছে নেওয়ার উপায় = ⁶C₁ = 6

∴ কমিটি গঠনের মোট উপায় = 21 × 6 = 126

প্রশ্ন: X ও Y দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(X) = 1/3, P(Y) = 2/3 হলে, P(X ∩ Y) এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
P(X ∩ Y) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

প্রশ্ন: 12^4.5 × 12^p = 12^8.5 হলে, p = কত?

সমাধান:
12^4.5 × 12^p = 12^8.5 
⇒ 12^{4.5 + p} = 12^8.5
⇒ 4.5 + p = 8.5
⇒ p = 8.5 - 4.5
∴ p = 4

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 11তম পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 11

∴ 11 তম পদ = a + (n - 1)d
= 4 + (11 - 1)4
= 44

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0
⇒ 2 + x + 3 - 3x - 6 = 0
⇒ - 2x - 1 = 0
⇒ - 2x = 1
∴ x = - (1/2)

∴ x এর মান - (1/2) হলে (2 + x) + 3 - 3(x + 2) = 0 হবে।

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুনফল ৩০ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপে মোট ঘটনা = ৬^২ = ৩৬ টি
দুটির সংখ্যার গুনফল ৩০ হওয়ার অনুকূল ঘটনা = (৫, ৬), (৬, ৫) = ২ টি

∴ সম্ভাবনা = ২/৩৬
= ১/১৮