Math Master

প্রশ্ন: A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 13} হলে, P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 13}

13 থেকে ছোট বা 13 এর সমতুল্য মৌলিক সংখ্যা হলো = 2, 3, 5, 7, 11, 13
তাহলে, A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁶
= 64

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস = 52 টি
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (4 + 4)/52
= 2/13

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 150 জন বাংলায়, 140 জন গণিতে এবং 110 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:

ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 200 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।
উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B∩M, যার সদস্য সংখ্যা 110
P = শুধু বাংলায় পাশ করেছে = 150 - 110 = 40 জন
R = শুধু গণিতে পাশ করেছে = 140 - 110 = 30 জন
যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, P∪Q∪R = 40 + 30 + 110 = 180
∴F = উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = 200 - 180 = 20 জন

প্রশ্ন: ৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (৩০ + ৩৫)/২
= ৬৫/২
= ৩২.৫
অতএব, ৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ৩২.৫।

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d, e}, B = {b, d, f, h} হলে, A´ ∩ B´ হবে?

সমাধান:
A´ = U - A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

B´ = U - B
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ A´ ∩ B´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন: 20 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 23, 29 = 2 টি
আবার, 20 থেকে 30 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 20, 25, 30 = 3 টি
20 থেকে 30 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক সংখ্যা = (2 + 3) টি = 5টি

∴ মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 5/11

প্রশ্ন: A = {x ∈ Z : -3 < x < 8} এবং B = {x ∈ N: x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 12} হলে, A ∩ B নির্ণয় করুন?

সমাধান:
শর্তানুযায়ী,
A = {x ∈ Z : -3 < x < 8} = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 12} = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

∴ A ∩ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {1, 3, 5, 7}

প্রশ্ন: হানিফ ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 4/5, ইংরেজি ও গণিত দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/3 এবং দুইটির যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 8/10 হলে, গণিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 4/5
P(E ∩ S) = 1/3
P(E ∪ S) = 8/10
P(S) = ?

আমরা জানি,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 8/10 = (4/5) + P(S) - (1/3)
⇒ (8/10) - (4/5) + (1/3) = P(S)
⇒ (24 - 24 + 10)/30 = P(S)
∴ P(S) = 10/30 = 1/3

প্রশ্ন: P = {2, 3, 4, 5}, Q = {5, 6} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {2, 3, 4, 5}, এবং Q = {5, 6}
এবং R = P ∩ Q = {2, 3, 4, 5} ∩ {5, 6}= {5}

∴ R × Q = {5} × {5, 6}
= {(5, 5), (5, 6)}

প্রশ্ন: চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
= 16 টি

তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
= 4 টি।

∴ তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/16 = 1/4

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় করুন।

প্রশ্ন: 2023 সালের মে মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = 7 দিন
বৃষ্টি হয়েছে = 5 দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
তাহলে, সোমবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7

∴ সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= 1 - (5/7)
= (7 - 5)/7
= 2/7

প্রশ্ন: সেট P = {2, 4, 6, 8, 10} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 10 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 10}

প্রশ্ন: ৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক কোনটি?

সমাধান:
কোন উপাত্তসমূহের মধ্যে কোন উপাত্ত সর্বাধিকবার থাকলে তাকে প্রচুরক বলে।

৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় কোন সংখ্যা একাধিকবার নেই।

∴ ৩, ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক নেই।

প্রশ্ন: S = {x, y, z} হলে, S এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
S = {x, y, z}
উপাদানের সংখ্যা, n = 3

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1
= 8 - 1
= 7

∴ A এর প্রকৃত উপসেট 7টি।

প্রশ্ন: একটি থলেতে 8 টি নীল বল, 12 টি সবুজ বল এবং 15 টি কালো বল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে = (8 + 12 + 15) টি = 35 টি
কালো বল আছে = 15 টি

∴ বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 15/35
= 3/7

প্রশ্ন: P = {x ∈ N: x, 8 এর গুণনীয়ক) এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 10} হলে, Q - P এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : x, 8 এর গুণনীয়ক)
= {1, 2, 4, 8}

Q = {x ∈ N : 2 < x < 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

∴ Q - P = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 4, 8}
= {3, 5, 6, 7, 9}

প্রশ্ন: P(A) = 3/5 এবং P(B) = 3/7; A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (3/5) × (3/7)
= 9/35

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (9/35)/(3/5)
= 3/7

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x² > 10 এবং x³ < 50} হলে, A = কত?

সমাধান:
x² > 10; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {4, 5, 6 .......}
x³ < 50; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {4, 5, 6 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {}