Math Master

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৫৪ কিলোমিটার যায়। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সময়ে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
৫৪ কি. মি. = ৫৪ × ১০০০ = ৫৪০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৬০ × ৬০ = ৩৬০০ সেকেন্ড

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

∴ ৫৪০০০ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০/৫৪০০০ সেকেন্ডে
∴ ১২০ মিটার অতিক্রম করে (৩৬০০ × ১২০)/৫৪০০০ = (৩৬ × ১২)/৫৪ = ৮ সেকেন্ডে

অতএব, ট্রেনটি খুঁটিটি অতিক্রম করতে ৮ সেকেন্ড সময় নিবে।

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ৬ দিনে এবং খ তা ১২ দিনে করতে পারে। দুইজনে একত্রে ১ দিনে কাজের কত অংশ করতে পারবে?

সমাধান:
ক-এর ১ দিনে কাজ = ১/৬
খ-এর ১ দিনে কাজ = ১/১২

∴ একত্রে ১ দিনে কাজ = (১/৬) + (১/১২)
= (২ + ১)/১২
= ৩/১২
= ১/৪

∴ ক ও খ একত্রে ১ দিনে সম্পূর্ণ কাজের ১/৪​ অংশ করতে পারবে।

প্রশ্ন: (√৮ + √৮)^২ = ?

সমাধান:
(√৮ + √৮)^২
(২√৮)^২
= (২)^২ × (√৮)^২
= ৪ × ৮
= ৩২

প্রশ্ন: ২০০ মি দীর্ঘ একটি ট্রেন ৭২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ৫০০ মি. দীর্ঘ একটি ব্রিজে প্রবেশ করার সময় তার গতি ১/৩ হয়ে যায়। ব্রিজটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার
ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘণ্টা
এবং ব্রিজে ঢোকার সময় গতি ১/৩ হয়ে যায়, অর্থাৎ গতি হয় = ৭২/৩ = ২৪ কি. মি./ঘণ্টা।

∴ মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ২০০ + ৫০০ = ৭০০ মিটার
গতি বেগ = (২৪ × ১০০০)/৩৬০০ = (২০/৩) মি/সেকেন্ড

∴ সময় =দূরত্ব​/গতি = ৭০০/(২০/৩) = (৭০০ × ৩)/২০ = ১০৫ সেকেন্ড

অতএব, ১০৫ সেকেন্ড লাগবে ট্রেনটির ব্রিজটি অতিক্রম করতে।

প্রশ্ন: আরিফ ১০ মিনিটে ৪০০ শব্দ এবং রাকিব ১০ মিনিটে ৩০০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে একসাথে কাজ করে ৩৫০০ শব্দ, মোট কত সময়ে টাইপ করবে?

সমাধান:
আরিফ ও রাকিব ১০ মিনিটে টাইপ করে = ৪০০ + ৩০০ = ৭০০ টি শব্দ

∴ ৭০০ টি শব্দ টাইপ করে ১০ মিনিটে
∴ ১ টি শব্দ টাইপ করে ১০/৭০০ = ১/৭০ মিনিটে
∴ ৩৫০০ টি শব্দ টাইপ করে ৩৫০০/৭০ = ৫০ মিনিটে

∴ দুজনে একসাথে ৩৫০০ শব্দ টাইপ করতে ৫০ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: আসিফ ভোরবেলায় বেড়াতে বের হলো। তখন সূর্য তার সামনে ছিল। কিছুক্ষণ পর সেই বামদিকে ঘুরল, কয়েক মিনিট পর আবার  ডানদিকে ঘুরল। এখন আসিফের মুখ কোনদিকে?

সমাধান:
আসিফ ভোরবেলায় বেড়াতে বের হয়, এবং সূর্য তার সামনে ছিল।
অর্থাৎ আসিফের পূর্ব দিকে মুখ করে আছে।

আবার,
আসিফ বামদিকে ঘুরল।
যদি আসিফ পূর্ব দিকে মুখ করে থাকে, তাহলে বামদিকে ঘুরলে তার মুখ হবে উত্তর দিকে।

সে আবার ডানদিকে ঘুরল।
উত্তর দিক থেকে ডানদিকে ঘুরলে তার মুখ হবে পূর্ব দিকে।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদী পথে কোন পথ গিয়ে ফিরে আসতে মোট ৩২ ঘণ্টা সময় লাগে। ঐ পথের দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ৫ কিমি/ঘণ্টা
যাওয়া-আসার মোট সময় = ৩২ ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = ১০ + ৫ = ১৫
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ১০ - ৫ = ৫

ধরি, দূরত্ব = d

স্রোতের অনুকূলে সময় = d/১৫
স্রোতের প্রতিকূলে সময় = d/৫

প্রশ্নমতে,
⇒ (d/১৫) + (d/৫) = ৩২
⇒ (d + ৩d)/১৫ = ৩২
⇒ ৪d = (৩২ × ১৫)
⇒ d = (৩২ × ১৫)/৪
∴ d = ১২০

∴ পথের দূরত্ব = ১২০ কি. মি.।

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাঙ্ক তিন চতুর্থাংশ পূর্ণ আছে। পাইপ 'ক' দ্বারা ট্যাঙ্ক ১২ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ 'খ' দ্বারা ট্যাঙ্ক ৮ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর ট্যাঙ্কটি খালি হবে?

সমাধান:
ক দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১২ অংশ
খ দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = ১/৮ অংশ

∴ দুইটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে খালি হয় = (১/৮) - (১/১২) অংশ
= (৩ - ২)/২৪
= ১/২৪ অংশ

এখন,
১/২৪ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ খালি হয় = ১/(১/২৪) = ২৪ মিনিটে
∴ ৩/৪ অংশ খালি হয় = (২৪ × ৩)/৪ = ১৮ মিনিটে

∴ ট্যাঙ্কটি ১৮ মিনিট পর সম্পূর্ণ খালি হবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি প্রথমে উত্তর দিকে ১২ মাইল, তারপর পূর্ব দিকে ৭ মাইল এবং শেষে উত্তর দিকে ১২ মাইল গেল। যাত্রাশুরুর স্থান থেকে সে সোজা কত মাইল দূরে গেল?

সমাধান:

উত্তর + উত্তর = ১২ + ১২ = ২৪ মাইল এবং পূর্বদিকে = ১২ মাইল।
সুতরাং তাঁর সোজাসুজি দূরত্ব = √(২৪^২ + ৭^২)
= √(৫৭৬ + ৪৯৪)
= √৬২৫
= ২৫ মাইল।

প্রশ্ন: ঘড়িতে এখন ৮ টা ৪৫ বাজে। ঘণ্টার এবং মিনিটের কাটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = | (১১M - ৬০H)/২ |
= | (১১ × ৪৫ - ৬০ × ৮)/২ |
= (৪৯৫ - ৪৮০)/২
= ১৫/২
= ৭.৫°

প্রশ্ন: ২০০৯ সালের পহেলা জানুয়ারি সোমবার হলে ২০১১ সালের পহেলা জানুয়ারি কী বার হবে?

সমাধান:
অধিবর্ষ বাদে বাকি সব বছরের প্রথম দিন এবং শেষ দিন একই বার হয়।
অধিবর্ষ হলে একদিন বাড়তি যোগ করতে হয়।
২০০৯ সালের পহেলা জানুয়ারি সোমবার হলে বছরের শেষ দিন ও সোমবার।
২০০১০ সালের পহেলা জানুয়ারি মঙ্গলবার হলে বছরের শেষ দিন ও মঙ্গলবার।
২০১১ সালের পহেলা জানুয়ারি হবে বুধবার।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৬ কি. মি. দৌড়ে কত মিনিটে ৩৬০০ মিটার পার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি = ১০০০ মিটার এবং ১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
৬ কি. মি = ৬০০০ মিটার

∴ ৬০০০ মিটার দৌড়ায় = ৬০ মিনিট
∴ ১ মিটার দৌড়ায় = ৬০/৬০০০ মিনিট
∴ ৩৬০০ মিটার দৌড়ায় = ৩৬০০/১০০ = ৩৬ মিনিট

∴ লোকটি ৩৬০০ মিটার পাড়ি দিতে ৩৬ মিনিট সময় নেবে।

প্রশ্ন: ২য় ত্রিভুজের মধ্যে সঠিক সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
(৬^২ + ৩^২) - ৭ = (৩৬ + ৯) - ৭ = ৩৮
(৮^২ + ৪^২) - ৯ = (৬৪ + ১৬) - ৯ = ৭১
(৯^২ + ৫^২) - ১২ = (৮১ + ২৫) - ১২ = ৯৪

∴ ২য় ত্রিভুজের মধ্যে সঠিক সংখ্যাটি হল ৭১

প্রশ্ন: A যে কাজ ১২ দিনে করে B সে কাজ ১৫ দিনে এবং C অর্ধেক পরিমাণ কাজ ১০ দিনে করতে পারলে তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
A ১ দিনে করে ১/১২ অংশ
B ১ দিনে করে= ১/১৫ অংশ
C ১০ দিনে করে= ১/২ অংশ
∴ C ১ দিনে করে = ১/২০ অংশ

∴ A, B ও C একত্রে করে (১/১২) + (১/১৫) + (১/২০)
= (৫ + ৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ

∴ তারা একত্রে ১/৫ অংশ করে ১ দিনে
তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (৫/১) দিনে
= ৫ দিন