Math Master

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
সংখ্যা গুলোর যোগফল,
=‌‌‍ {(১ম পদ + শেষ পদ)×(পদ সংখ্যা )} /২                             
= {(১ + ১০৯) × ১০৯}/২
 =(১১০ × ১০৯)/২
= ৫৯৯৫

∴ গড় = যোগফল/মোট সংখ্যা
= ৫৯৯৫/১০৯
= ৫৫

প্রশ্ন: a³ - b³ = 98 এবং a - b = 2 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান: 
a³- b³=(a - b)³+3ab(a-b)
⇒ 98 = 2³ + 3ab(2)
⇒ 6ab = 98 - 8
⇒ ab = 90/6 
∴ab = 15

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে,
ক্ষেত্রফল (√3/4)a² বর্গএকক 

শর্তমতে,
(√3/4)a² = 64√3 
⇒ a² = 64 × 4
⇒ a = 8 × 2 
∴ a = 16 

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার 

প্রশ্ন: একজন ঘড়ি নির্মাতা একটি ঘড়ি ২০% লাভে খুচরা বিক্রেতার কাছে বিক্রয় করেন এবং ঘড়িটি খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করেন। যদি ঐ ঘড়ির নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয় তবে খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য কত?  

সমাধান: 
২০% লাভে,
নির্মাণ খরচ ১০০ হলে বিক্রয় মূল্য ১২০ টাকা 
∴ নির্মাণ খরচ ২০০ হলে বিক্রয় মূল্য (১২০ × ২০০)/১০০ টাকা 
= ২৪০ টাকা 

এখানে,
নির্মাতার বিক্রয় মূল্য খুচরা বিক্রেতার ক্রয় মূল্য 

তাহলে,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা 
∴ খুচরা বিক্রেতার ক্রয় মূল্য ২৪০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ২৪০)/১০০ টাকা 
= ২৮৮ টাকা

 প্রশ্ন: যদি (x - 3)(a + x) = x² - 9 হয় তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 
(x - 3)(a + x) = x² - 9
⇒ (x - 3)(a + x) = x² - 3²
⇒ (x - 3)(a + x) = (x - 3)(x + 3)
⇒ a + x = x + 3
∴ a = 3

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। বিস্তার ১৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বিস্তার =১৬ মিটার  
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ × ৩ = ৪৮ মিটার।

∴ পরিসীমা = ২(৪৮+১৬) মিটার
= ২ × ৬৪ মিটার 
= ১২৮ মিটার

প্রশ্ন: ৬৪ কিলোগ্রাম চিনি ও লবণের মিশ্রণে চিনির পরিমাণ ২৫%। কত কিলোগ্রাম চিনি মিশালে নতুন মিশ্রণে লবণের পরিমাণ ৪০% হবে? 

সমাধান:
চিনির পরিমাণ = ৬৪ × ২৫% 
= ৬৪×(২৫/১০০)
  = ১৬ কি.গ্রা. 

লবণের পরিমাণ = ৬৪ - ১৬ কি.গ্রা. 
= ৪৮ কি.গ্রা.

বর্তমানে চিনি ও লবণের অনুপাত = ১৬ : ৪৮ = ১ : ৩ 

চিনি মেশানোর পর চিনি ও লবণের অনুপাত = ৬০ : ৪০
= ৩ : ২ 

মনেকরি, 
x কি. গ্রা. চিনি মেশাতে হবে।   

প্রশ্নমতে, 
⇒ (১৬ + x)  :  ৪৮  = ৩ : ২  
⇒ (১৬ + x)/৪৮ = ৩/২ 
⇒ ১৬ + x = (৪৮ × ৩)/২ 
⇒ ১৬ + x = ৭২ 
⇒ x = ৭২ - ১৬ 
∴ x = ৫৬ কি.গ্রা.

প্রশ্ন: 3x² + 11x - 4 এর দুটি উৎপাদক কি কি?

সমাধান: 
3x² + 11x - 4
=3x²+ 12x - x - 4
= 3x(x + 4) - 1(x + 4)
= (x + 4)(3x - 1)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৯৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ২৪ হলে, গ.সা.গু কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = দুটি সংখ্যার গুণফল
⇒ গ.সা.গু. = দুটি সংখ্যার গুণফল/ল.সা.গু. 
∴ গ.সা.গু. = ৯৬/২৪ = ৪ 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বেশি হয়।  সংখ্যাটি কত?  

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক, ক 
একক স্থানীয় অঙ্ক, (ক + ৩)

∴ সংখ্যাটি = ১০ক + ক + ৩ = ১১ক + ৩ 

শর্তমতে,
১০(ক + ৩) + ক = ২(১১ক + ৩) + ২
বা, ১০ক + ৩০  + ক = ২২ক + ৬ + ২
বা, ১১ক + ৩০ = ২২ক + ৮ 
বা, ১১ক = ২২ 
∴ ক = ২ 

∴ সংখ্যাটি = ১১ × ২ + ৩ = ২৫

প্রশ্ন: ত্রিভুজের দুটি কোণ ৪৫° ও ৯০° হলে অপর কোণের মান কত হবে? 

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের অপর কোণ x°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

এখন,
৪৫° + ৯০° + x° = ১৮০°
বা, ১৩৫° + x° = ১৮০°
বা, x° = ১৮০° - ১৩৫°
∴ x° = ৪৫° 

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠B = 60° হলে, ∠A + ∠C= কত? 

সমাধান: 

∠A = 180° - 60°
= 120°
∴  ∠C = 120° 

∠A + ∠C = 120° + 120° = 240° 

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একেক স্থানীয় অঙ্ক ৭ যাদের সেগুলো হলো ১৭, ৩৭, ৪৭
এদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১ 

প্রশ্ন: ৮ দিনে একটি কাজের ১/১৬ অংশ শেষ হলে ঐ কাজের ২ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে? 

সমাধান: 
১/১৬ অংশ কাজ শেষ হয় ৮ দিনে।
১ অংশ কাজ শেষ হয় ৮ X ১৬ দিনে।
= ১২৮ দিনে।

কাজটির ২ গুন শেষ হয় = ২ X ১২৮  = ২৫৬ দিনে।

প্রশ্ন: A = { x, y, z}, সেটটির প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা 3 টি 
∴ A সেটের উপসেট সংখ্যা 2³ টি = 8 টি 

প্রকৃত উপসেট 8 - 1 = 7 টি