ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম ষড়ভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 6) - 4] সমকোণ 
= (12 - 4) সমকোণ 
= 8 সমকোণ

প্রশ্ন: cos{(7π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cos{(7π/2)+θ} = cos{7×(π/2)+θ} 
= cos{(7×90°)+θ}

অর্থাৎ, 90° করে 7 বার ঘুরে 4th চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে cosθ এর মান ধনাত্মক।
∴ cos{(7π/2) + θ}= sinθ.

প্রশ্ন: 35° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন

সমাধান:
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
  1° = π/180° রেডিয়ান
 35° = (π × 35°)/180° রেডিয়ান
= 7π/36 রেডিয়ান 

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ, AC অতিভুজ, AB লম্ব এবং BC ভূমি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 

অর্থাৎ, (অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)² 
∴ (AC)² = (AB)² + (BC)²

প্রশ্ন: tanθ + cotθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)           
= 1/(sinθ . cosθ)                          [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= cosecθ . secθ 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সে.মি. ও ভূমি 2 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সেমি. ও ভূমি 2 সেমি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (লম্ব)² = 3² - 2²
⇒ (লম্ব)² = 9 - 4
∴ লম্ব = √5

প্রশ্ন: [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)] এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)]
= [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + (1/sin²θ))] 
= [1/(1 + sin²θ)] + [sin²θ/(1 + sin²θ)]
= (1 + sin²θ)/(1 + sin²θ)
= 1 

প্রশ্ন: cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°  মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, 
cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°
= √3 × 1 × 1 × (2/√3)
= 2

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোনগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

∴ কোনগুলোর অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) = 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 81° + 135° = 216°

প্রশ্ন: cosecθ+ cotθ = 5/6 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 5/6 
⇒ [(cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)]/(cosecθ - cotθ) = 5/6         
⇒ (cosec²θ - cot²θ)/(cosecθ - cotθ) = 5/6 
⇒ 1/ (cosecθ - cotθ) = 5/6                                      [∵ cosec²θ - sec²θ = 1]
⇒ cosecθ - cotθ = 6/5 

প্রশ্ন: cotθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cotθ = 1/3 

আমরা জানি, cotθ = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 1 এবং লম্ব = 3  

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 3² + 1² 
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 1
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 1/√10

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3) হলে, θ এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = (1 + √3)/(1 - √3)
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (1 + √3 + 1 - √3)/(1 + √3 - 1 + √3)
⇒ 2sinθ/2cosθ = 2/(2√3)                                        [যোজন-বিয়োজন করে] 
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan 30° 
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: যদি C = 60° হয়, তাহলে (1 + tan²C)/(1 - tan²C) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
(1 + tan²C)/(1 - tan²C)
= (1 + tan²60°)/(1 - tan²60°)
= [(1 + (√3)²]/[(1 - (√3)²]
= (1 + 3)/(1 - 3)
= 4/(- 2)
= - 2 

প্রশ্ন: cos²A - sin²A = 1/√5 হলে, cos⁴A - sin⁴A এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cos²A - sin²A = 1/√5
 
∴ প্রদত্ত রাশি,
cos⁴A - sin⁴A
= (cos²A)² - (sin²A)²
= (cos²A + sin²A) (cos²A - sin²A)
= 1 × 1/√5                                              [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= 1/√5

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12
 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ (লম্ব)² + (ভূূমি)²
= 5² + 12²
= 25 + 144
= 169
= 13²
= (অতিভুজ)²

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot(θ - 30°) = cot 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ cosθ = cos 90° = 0

প্রশ্ন: tanθ = m/n হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
tanθ = লম্ব/ভূমি = m/n
এখানে, লম্ব = m এবং ভূমি = n

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = m² + n²
∴ অতিভুজ = √(m² + n²)
 
Option Check-

ক) sinθ = লম্ব/অতিভুজ = m/√(m² + n²)         (অপশনে মান ভুল)
 
খ) secθ = অতিভুজ/ভূমি = √(m² + n²)/n         (অপশন অনুযায়ী সঠিক)  

গ) cosθ = 1/secθ = n/√(m² + n²)                    (অপশনে মান ভুল)

ঘ) উপরের সবগুলো                      (যেহেতু, ক ও গ ভুল। তাই অপশন ঘ সঠিক উত্তর হবে না।)

∴ অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর হচ্ছে, secθ = √(m² + n²)/n 

প্রশ্ন: যদি tan(x) = 1 হয়, তবে sin(x) - cos(-x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan(x) = 1
⇒ sin(x)/cos(x) = 1
⇒ sin(x) = cos(x)

∴ sin(x) - cos(-x)
= cos(x) - cos(-x)             
= cos(x) - cos(x)                    [∵ cos(- θ) = cosθ]
= 0 

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3 হলে, ভূমি AB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3
ধরি, ভূমি AB = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
2² = a² + (√3)²
⇒ a² = 4 - 3
⇒ a = √1
⇒ a = 1
∴ ভূমি AB = 1