Math Master

প্রশ্ন: ১টি চৌবাচ্চার ২/৫ ভাগ পূরণ হতে ৬ ঘণ্টা লাগে। চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ পূরণ হতে আর কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ = ১ - (২/৫) = ৩/৫ অংশ

এখন,
চৌবাচ্চাটির ২/৫ ভাগ পূরণ হতে সময় লাগে = ৬ ঘণ্টা
∴ চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পূর্ণ ভাগ পূরণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫)/২ ঘণ্টা
∴ চৌবাচ্চাটির ৩/৫ ভাগ পূরণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫ × ৩)/(২ × ৫) ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: পাহাড়তলী থেকে রসুলপুরের দূরত্ব ২০০ কি.মি.। পাহাড়তলী থেকে একটি বাস সকাল ৮ টায় ছেড়ে বিকেল ৪ টায় রসুলপুর পৌঁছায়। বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দূরত্ব = ২০০ কি.মি.
সময় = সকাল ৮ টা থেকে বিকেল ৪ টা = ৮ ঘণ্টা 
আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ২০০/৮
= ২৫ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ছাদের ট্যাঙ্কটি একটি নল দ্বারা ২৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার বাড়ির ব্যবহারের জন্য যে নল আছে তা খুলে দিলে ট্যাঙ্কটি ৫০ মিনিটে খালি হয়। ট্যাঙ্কটি অর্ধপূর্ণ থাকা অবস্থায় দুটি নল একসাথে কাজ করলে ট্যাঙ্কটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
ট্যাঙ্কটি ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২৫) - (১/৫০) অংশ
= (২ - ১)/৫০
= ১/৫০ অংশ

অতএব, দুটি নল খুলা থাকলে ট্যাঙ্কটি ৫০ মিনিটে পূর্ণ হবে।

এখন, ট্যাঙ্কটি যেহেতু অর্ধপূর্ণ ছিল, 
বাকি অর্ধেক পূর্ণ হতে সময় লাগবে = (১/২) × ৫০ মিনিট
= ২৫ মিনিট

প্রশ্ন: একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৩৫০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ৯০০ ফুট। লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব কত ফুট?

সমাধান:
ধরি, লক্ষবস্তুর দূরত্ব = ক ফুট
ক মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে = ক/১৩৫০ সেকেন্ড
ক মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে = ক/৯০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(ক/১৩৫০) + (ক/৯০০) = ৩
বা, (২ক + ৩ক)/২৭০০ = ৩
বা ,৫ক = ৩ × ২৭০০
বা, ৫ক  = ৮১০০
বা, ক = ৮১০০/৫
∴ ক = ১৬২০ ফুট

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ড ও ১৫ সেকেন্ডে যথাক্রমে ১৬২ ও ১২০ মিটার লম্বা দুটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১৬২)/১৮ = ( ক + ১২০)/১৫
⇒ ১৮ক + ২১৬০ = ১৫ক + ২৪৩০
⇒ ১৮ক - ১৫ক = ২৪৩০ - ২১৬০
⇒ ৩ক = ২৭০
∴ ক = ৯০ মিটার
∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ যথাক্রমে ঘণ্টা ৯ কি. মি. এবং ৭ কি. মি.। নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে ৩২ কি. মি. গিয়ে আবার ফিরে আসতে মোট কত সময় লাগবে?

 সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে, নৌকার বেগ = ৯ + ৭ = ১৬ কি. মি./ঘণ্টা
∴ ৩২ কি. মি. পথ যেতে সময় লাগবে = ৩২/১৬ = ২ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে, নৌকার বেগ = ৯ - ৭ = ২ কি. মি./ঘণ্টা
∴ ৩২ কি. মি. পথ ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৩২/২ = ১৬ ঘণ্টা
∴ মোট সময় লাগবে = ২ + ১৬ = ১৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: রেল লাইনের পাশে একটি খাম্বা রয়েছে। ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি. বেগে ধাবমান ৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন কত সময়ে ঐ খাম্বা অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৫০ মিটার
গতিবেগ = ৩৬ কি.মি/ঘণ্টা

∴ সময় = ৫০/{৩৬ × (১০০০/৩৬০০)} সেকেন্ড
= ৫০/{৩৬ × (৫/১৮)} সেকেন্ড
= (৫০ × ১৮)/(৩৬ × ৫) সেকেন্ড
= ৫ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৫ মিটার এবং উচ্চতা ৪ মিটার। চৌবাচ্চার নিচের একটি ছিদ্র দ্বারা মিনিটে ১০ ঘনমিটার পানি নির্গত হয় এবং উপরের একটি ছিদ্র দ্বারা মিনিটে ৩০ ঘনমিটার পানি চৌবাচ্চায় প্রবেশ করে। দুইটি ছিদ্র একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হইতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির পানি ধারণ ক্ষমতা = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ১০মি. × ৫মি. × ৪মি. = ২০০ ঘন মিটার
দুটি ছিদ্র একসাথে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ৩০ – ১০ = ২০ ঘন মিটার

২০ ঘন মিটার পানি পূর্ণ হতে সময় লাগে = ১ মিনিট
∴ ১ ঘন মিটার পানি পূর্ণ হতে সময় লাগে = ১/২০ মিনিট
∴ ২০০ ঘন মিটার পানি পূর্ণ হতে সময় লাগে = (১ × ২০০)/২০ মিনিট
= ১০ মিনিট

প্রশ্ন: ১১৫ মিটার ও ১৩৫ মিটার দীর্ঘ দু’টি ট্রেন যথাক্রমে ঘণ্টায় ৪৫ কি.মি. ও ৫৫ কি.মি. বেগে বিপরীত ‍দিক থেকে সমান্তরালভাবে আসতে থাকলে কতক্ষণ পর ট্রেন দু’টি পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেন দু’টির মোট দৈর্ঘ্য = (১১৫ + ১৩৫) মিটার
= ২৫০ মিটার

ট্রেন দু’টির গতিবেগ ঘণ্টায় = (৪৫ + ৫৫) কি.মি.
= ১০০ কি.মি.
= (১০০ × ১০০০) মিটার
= ১০০০০০ মিটার

১০০০০০ মিটার যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/১০০০০০ সেকেন্ডে
∴ ২৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ২৫০)/১০০০০০ সেকেন্ডে
= ৯ সেকেন্ড

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৪ কি.মি. বেগে চললে কোন স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ৫ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ১/২ ঘণ্টা কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
এখন,
৪ কি.মি. বেগে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা
আবার, ৫ কি.মি. বেগে সময় লাগে = ক/৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) - (ক/৫) = ১/২ 
⇒ (৫ক - ৪ক)/২০ = ১/২
⇒ ক/২০ = ১/২
⇒ ২ক = ২০
∴ ক = ১০ কি.মি.

প্রশ্ন: একটি পিঁপড়া প্রতি মিনিটে ৬ ফুট উপরে উঠে এবং ৪ ফুট নিচে নেমে যায়। কততম মিনিটে পিঁপড়াটি ১২০ ফুট উচ্চতায় উঠবে?

সমাধান:
প্রতি মিনিটে ৬ ফুট উপরে উঠে এবং ৪ ফুট নিচে নেমে যায়। অর্থাৎ প্রতি মিনিটে মোট উচ্চতায় উঠে (৬ - ৪) = ২ ফুট।

(১২০ - ৬) = ১১৪ ফুট উঠতে সময় লাগে ১১৪/২ = ৫৭ মিনিট 

৫৮ তম মিনিটে সে ৬ ফুট উঠলেই মোট (১১৪ + ৬) = ১২০ ফুট উঠা হয়ে যায়।

প্রশ্ন: রাকিব ৪২ জন লোক নিয়োগ দিল যেন সে ২২ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে। ১২ দিন পর মাত্র এক-তৃতীয়াংশ কাজ শেষ হলাে। অতিরিক্ত কোনাে লােক নেয়া না হলে অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে নির্ধারিত সময় অপেক্ষা কতদিন বেশি লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১/৩ অংশ কাজ করে = ১২ দিনে 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ  করে  = ১২ × ৩ দিনে
= ৩৬ দিনে 

∴ সময় বেশি লাগবে = (৩৬ - ২২) দিন  
= ১৪ দিন

প্রশ্ন: করিম একটি কাজ রহিমের চেয়ে ৬০ দিন কম সময়ে করতে পারে। করিমের কাজের গতি যদি রহিমের কাজের গতির ৩ গুণ হয় তবে করিম একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,  
রহিমের কাজটি করতে লাগে = ৩ক  দিন 
করিমের কাজটি করতে লাগে = ক দিন 

এখন,
৩ক - ক = ৬০ 
⇒ ২ক = ৬০ 
⇒ ক = ৬০/২
∴  ক  = ৩০

প্রশ্ন: ২ জন পুরুষ বা ৩ জন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, ৪ জন পুরুষ ও ৯ জন বালক তার দ্বিগুণ কাজ কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
২ জন পুরুষ = ৩ জন বালক
∴ ৪ জন পুরুষ = ৬ জন বালক
∴ ৪ জন পুরুষ ও ৯ জন বালক = ৬ জন বালক ও ৯ জন বালক = ১৫ জন বালক

∴ ১৫ জন : ৩ জন = ১৫ দিন : নির্ণেয় সময়
∴ নির্ণেয় সময় = (১৫ × ৩)/১৫ = ৩ দিন

∴ দ্বিগুণ কাজ করতে সময় লাগবে = ৬ দিন
= ৬ দিন

প্রশ্ন: দুটি ট্যাপ A ও B দ্বারা একটি ট্যাঙ্ক 5 ঘণ্টা ও 20 ঘণ্টায় পানি পূর্ণ হয়। দুটি পাইপ চালু করার পর, একটি ছিদ্রের ফলে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হতে ৩০ মিনিট সময় বেশি লাগে। যদি ট্যাঙ্কটি সম্পূর্ণ ভর্তি থাকে, তাহলে ছিদ্র দ্বারা সম্পূর্ণ পানি বের হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
A ও B পাইপ দ্বারা 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = (1/5) + (1/20) = (4 + 1)/20 = 1/4 অংশ

অতএব, A ও B দ্বারা ট্যাঙ্কটি 4 ঘণ্টায় পূর্ণ হয়।
ছিদ্রের জন্য পানি দ্বারা পূর্ণ হতে সময় বেশি লাগে = 30 মিনিট বা 1/2 ঘণ্টা

∴ ছিদ্রসহ নল দুটির ট্যাঙ্কটি ভর্তি করতে সময় লাগবে = {4 + (1/2)} = (8 + 1)/2 = 9/2 ঘণ্টা
এখন, ছিদ্র দ্বারা 1 ঘণ্টায় খালি হয় = (1/4) - (2/9) = (9 - 8)/36 = 1/36 অংশ

∴ ছিদ্রটি 36 ঘন্টায় ট্যাঙ্কটিকে খালি করবে।

প্রশ্ন: রহিম ও করিম একটি কাজ ২৪ দিনে সম্পন্ন করে। রহিম, করিম ও রাকিব ঐ কাজটি ৮ দিনে সম্পন্ন করে। রাকিব ঐ কাজটি একা করতে কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান: 
রহিম ও করিম ১ দিনে করে কাজটির = ১/২৪ অংশ 
রহিম, করিম ও রাকিব ১ দিনে করে কাজটির = ১/৮ অংশ

∴ রাকিব ১ দিনে করে কাজটির = (১/৮) - (১/২৪) অংশ
= (৩ - ১)/২৪
= ১/১২ অংশ

অতএব, রাকিব ঐ কাজটি একা করতে ১২ দিন সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি বাস ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. বেগে চলে ঢাকা থেকে নারায়ণগঞ্জ পৌঁছায়। বাসটির বেগ ঘণ্টায় ২৫ কি.মি. হলে, ১০ মিনিট সময় বেশি লাগে। ঢাকা ও নারায়ণগঞ্জের দূরত্ব কত?

সমাধান:
১০ মিনিট = ১০/৬০ ঘন্টা = ১/৬ ঘণ্টা

ধরি, পথের দূরত্ব = a কি.মি

এখন,
ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. বেগে a কি.মি যেতে সময় লাগে = a/৩০ ঘণ্টা
ঘণ্টায় ২৫ কি.মি. বেগে a কি.মি যেতে সময় লাগে = a/২৫ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(a/২৫) - (a/৩০) = ১/৬
বা, (a/২৫) - (a/৩০) - (১/৬) = ০
বা, (৬a - ৫a - ২৫)/১৫০ = ০
বা, (a - ২৫)/১৫০ = ০ 
বা, a - ২৫ = ০
∴ a = ২৫

∴ দূরত্ব = ২৫ কি.মি