শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ১২ এবং তাদের গুণফল ৩৫। সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ক এবং খ 
শর্তমতে, ক + খ = ১২ এবং ক × খ = ৩৫
(১/ক) + (১/খ)
= (ক + খ)/(ক × খ)
= ১২/৩৫

প্রশ্ন: মাতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৮ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতা ও দুই সন্তানের মোট বয়স = (৩ × ২৮) বছর
= ৮৪ বছর
দুই সন্তানের মোট বয়স = (২ × ২২) বছর
= ৪৪ বছর 
∴ মাতার বয়স (৮৪ – ৪৪) বছর = ৪০ বছর

প্রশ্ন: রাকিব সাহেব ও তার দুই ছেলের বয়সের সমষ্টি ৪৯ বছর। ৭ বছর পরে তাদের বয়সের সমষ্টি কত বছর হবে?

সমাধান:
রাকিব সাহেব ও তার দুই ছেলের বয়সের সমষ্টি ৪৯ বছর
∴ ৭ বছর পরে তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = {৪৯ + (৩ × ৭)} বছর
 = (৪৯ + ২১) বছর
= ৭০ বছর  

প্রশ্ন: ১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি বের করুন। 

সমাধান:
১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ১৭, ১৯, ২৩ এবং ২৯।
 সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯
= ৮৮

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ৮ ইনিংসে রানের গড় ৪৫। ৯ম ইনিংসে সে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংস মিলিয়ে তার রানের গড় ৪৮ হবে? 

সমাধান:
৮ ইনিংসে মোট রান (৪৫ × ৮) = ৩৬০
৯ ইনিংসে মোট রান (৪৮ × ৯) = ৪৩২

∴ ৯ম ইনিংসে রান করতে হবে = (৪৩২ – ৩৬০) = ৭২

প্রশ্ন: জাবের একা ১২ দিনে একটি কাজ করতে পারে। সে কাজটির ২/৩ অংশ শেষ করার পর অবশিষ্ট কাজটি হামিদ ৫ দিনে শেষ করে। কাজটির ৩/৫ অংশ শেষ করতে হামিদের একার কতদিন লাগবে?

সমাধান: 
ধরি, সম্পূর্ণ কাজ ১ অংশ
অবশিষ্ট কাজ = {১ - (২/৩)} = ১/৩ অংশ

হামিদ (১/৩) অংশ কাজ করে ৫ দিনে
হামিদ ১ অংশ কাজ করে (৫ × ৩) দিনে
হামিদ (৩/৫) অংশ কাজ করে {(৫ × ৩ × ৩)/৫} দিনে
= ৯ দিনে

প্রশ্ন: ৩টি ধারাবাহিক সংখ্যার সমষ্টি ৫৭ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, (ক - ১), ক এবং (ক + ১) হচ্ছে ৩টি ধারাবাহিক সংখ্যা।

প্রশ্নমতে,
(ক - ১) + ক + (ক + ১) = ৫৭
⇒ ৩ক = ৫৭
⇒ ক = ১৯ 

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ১৯ + ১ 
= ২০

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি  ৮৫ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ হলে পিতার বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৪ক বছর

শর্তমতে, ক + ৪ক = ৮৫
⇒ ৫ক = ৮৫
⇒ ক = ৮৫/৫
⇒ ক = ১৭
∴ পুত্রের বয়স ১৭ বছর
এবং পিতার বয়স = ৮৫ - ১৭ = ৬৮ বছর

প্রশ্ন: (৩ + √৫) হলো-

সমাধান: (৩ + √৫) হলো অমূলদ সংখ্যা।
কারণ একটি মূলদ (৩) ও একটি অমূলদ (√৫) সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২ জনের একটি অভিযাত্রী দলের ২৪ এবং ২৬ বছর বয়সী দুজন মহিলার পরিবর্তে দুজন পুরুষ এলে সকলের গড় বয়স ২ বছর বৃদ্ধি পায়। নতুন করে যুক্ত হওয়া দুজন পুরুষের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দুজন পুরুষ লোকের মোট বয়স = [(২৪ + ২৬) + (১২ × ২)] বছর 
= (৫০ + ২৪) বছর
= ৭৪ বছর

∴ দুজন লোকের গড় বয়স = (৭৪/২) বছর
= ৩৭ বছর

প্রশ্ন: ১২ কেজি চাল ২৪০ টাকায় পাওয়া যায়। ৪৪০ টাকায় কত কেজি চাল পাওয়া যায়?

সমাধান:
২৪০ টাকায় পাওয়া যায় ১২ কেজি চাল
∴ ১ টাকায় পাওয়া যায় (১২/২৪০) কেজি চাল
∴ ৪৪০ টাকায় পাওয়া যায় {(১২ × ৪৪০)/২৪০} কেজি চাল
= ২২ কেজি

প্রশ্ন: আজিজ, করিমের চেয়ে বয়সে বড় এবং আজিজ ও করিমের একত্রে বয়স ৫৩ বছর। কিন্তু তাদের বয়সের পার্থক্য যদি ১৭ বছর হয় তবে কার বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, আজিজের বয়স ক বছর ও করিমের বয়স খ বছর
এখানে, আজিজ করিমের চেয়ে বয়সে বড়
 ∴ ক + খ = ৫৩ ..............................(১)
এবং ক - খ = ১৭ ............................(২)
 
(১) + (২)
২ক = ৫৩ + ১৭
⇒ ক = ৭০/২
⇒ ক = ৩৫

(১) থেকে, ৩৫ + খ = ৫৩
⇒ খ = ৫৩ - ৩৫
⇒ খ = ১৮  

∴ আজিজের বয়স ৩৫ বছর ও করিমের বয়স ১৮ বছর।

প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ৪ জন বালকের সমান কাজ করতে পারে। কতজন পুরুষ ২৮ জন বালকের সমান কাজ করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন বালক = ৩ জন পুরুষ
∴ ১ জন বালক = ৩/৪ জন পুরুষ
∴ ২৮ জন বালক = (৩ × ২৮)/৪ জন পুরুষ
= ২১ জন পুরুষ

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৬৪ এবং ভাগফল ৪ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: ধরি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ 
শর্তমতে ক × খ = ৬৪ .....................(১)
এবং ক/খ = ৪
⇒ ক = ৪খ

সমীকরণ (১) থেকে,
ক × খ = ৬৪
⇒ ৪খ × খ = ৬৪
⇒ খ^২ = ১৬
⇒ খ = ৪
∴ ক = ৪ × ৪ = ১৬ 

∴ বড় সংখ্যাটি হচ্ছে ১৬

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৬। তিনটি সংখ্যার গড় ৮। অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় কত?


সমাধান:
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৬) = ৩০
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩ × ৮) = ২৪
অবশিষ্ট দুইটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ - ২৪) = ৬

∴ অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় = ৬/২
= ৩

প্রশ্ন: ১০ টি বিড়াল ১০টি ইঁদুর ধরতে ১০ মিনিট সময় লাগায়। ২০০ টি বিড়াল ২০০ টি ইঁদুর ধরতে কত মিনিট সময় লাগাবে?

সমাধান:
১০ টি বিড়াল ১০ টি ইদুর ধরতে সময় নেয় ১০ মিনিট
∴ ১ টি বিড়াল ১ টি ইদুর ধরতে সময় নেয় {(১০ × ১০)/১০} মিনিট
∴ ২০০ টি বিড়াল ২০০ টি ইদুর ধরতে সময় নেয় {(১০ × ১০ × ২০০)/(১০ × ২০০)} মিনিট
= ১০ মিনিট 

প্রশ্ন: আবিরের বর্তমান বয়স আরাফের তিনগুণ। তিন বৎসর পূর্বে আবিরের বয়স আরাফের বয়সের চারগুণ ছিল। আরাফের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, আরাফের বর্তমান বয়স x বছর
∴ আবিরের বর্তমান বয়স ৩x বছর

প্রশ্নমতে,
৩x - ৩ = ৪(x - ৩) 
⇒ ৩x - ৩ = ৪x - ১২
⇒ ৪x - ৩x = ৯
⇒ x = ৯ 

∴ আরাফের বর্তমান বয়স ৯ বছর

প্রশ্ন: আমজাদ সাহেবের বাৎসরিক আয় ৮৪০০ টাকা। তিনি ৩ মাসে যা খরচ করেন, ২ মাসে তা আয় করেন। বৎসর শেষে তিনি কত টাকা সঞ্চয় করবেন? 

সমাধান:
৩ মাসে সঞ্চয় করেন ১ মাসের আয়
∴ ১২ মাসে সঞ্চয় করেন (১২/৩) = ৪ মাসের আয়

এখন, ১২ মাসের আয় = ৮৪০০ টাকা
∴ ১ মাসের আয় = (৮৪০০/১২) টাকা
∴ ৪ মাসের আয় = {(৮৪০০ × ৪)/১২} টাকা
= ২৮০০ টাকা 

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার দ্বিতীয়টি হলো প্রথমটির দ্বিগুণ এবং তৃতীয়টির তিনগুণ। তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪ হলে, সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ক
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ক/২ এবং তৃতীয় সংখ্যাটি = ক/৩
দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৪৪ × ৩ = ১৩২

 শর্তমতে, ক + (ক/২) + (ক/৩) = ১৩২
⇒ (৬ক + ৩ক + ২ক)/৬ = ১৩২
⇒ ১১ক/৬ = ১৩২ 
⇒ ক = (১৩২ × ৬)/১১
⇒ ক = ১২ × ৬
⇒ ক = ৭২

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি = ৭২/৩ = ২৪

প্রশ্ন: ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান: 

১ থেকে ৩১ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ ,১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬, ২৮, ৩০ 

এখানে, ১ম সংখ্যা = ২, শেষ সংখ্যা = ৩০ 
 
∴ গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা)/২
= (২ + ৩০)/২
= ৩২/২
= ১৬

প্রশ্ন:  পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
৬ বছর পর তাদের বয়সের গড় হবে = ৩০ + ৬ = ৩৬ বছর 
৬ বছর পর মোট বয়স হবে = ৩৬ × ২ = ৭২ বছর
৬ বছর পর পুত্রের বয়স = ৭২ × (১/৬)
= ১২ বছর 
বর্তমানে পুত্রের বয়স = (১২ – ৬) বছর
= ৬ বছর

প্রশ্ন: একটি সেনাবাহিনীর গুদামে ১২০০ সৈনিকের ৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট সৈনিকদের আরো ৪৫ দিন চললো। কতজন সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিল?

সমাধান:
 দিন বাকি = ৪০ – ১০ = ৩০ দিন

৩০ দিনের খাবার আছে ১২০০ জনের
∴ ১ দিনের খাবার আছে (১২০০ × ৩০) জনের
∴ ৪৫ দিনের খাবার আছে {(১২০০ × ৩০)/৪৫}  জনের
= ৮০০ জনের

∴ সৈনিক চলে গিয়েছিল = (১২০০ – ৮০০) জন
= ৪০০ জন

প্রশ্ন: কামালের আয় জামালের দ্বিগুণ, জামালের আয় মাহিমের তিনগুণ। তাদের গড় আয় ২০০০০ টাকা হলে, জামালের আয় কত? 

সমাধান:
ধরা যাক, মাহিম, জামাল ও কামালের আয় যথাক্রমে ক টাকা, ৩ক টাকা ও ৬ক টাকা।

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩ক + ৬ক)/৩ = ২০০০০ 
ক + ৩ক + ৬ক = ৩ × ২০০০০ 
⇒ ১০ক  = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০

∴ জামালের আয় = (৩ × ৬০০০) টাকা
= ১৮০০০ টাকা

প্রশ্ন: (√9 - i²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √9 = √(3)² 
= 3
এবং  i² = - 1       [এখানে, i হচ্ছে জটিল সংখ্যা]

∴ প্রদত্ত রাশি, (√9 - i²) = 3 - (- 1)
= 3 + 1
= 4