Math Master

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল ৭৬ বর্গ মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৭৬ বর্গ মি.
= ৩৮ বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি পিরামিডের আয়তন ১১০৪ ঘন সে.মি. ও ভূমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
বা, ১১০৪ = (১/৩) × ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ১১০৪ × ৩ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, ৩৩১২ = ১৪৪ × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = (৩৩১২/১৪৪) ঘন সে.মি.
∴ উচ্চতা = ২৩ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√৩ মি. হলে ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০√৩ মি.
তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে = ১০ মি.

আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন = ক^৩ ঘন মি.।

তাহলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মি. হলে এর আয়তন হবে = ১০^৩ ঘন মি. = ১০০০ ঘন মি.।

প্রশ্ন: cosx = 3/5 হলে, tanx এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin²x + cos²x = 1
⇒ sin²x = 1 - cos²x
= 1 - (3/5)²
= 1 - (9/25)
= (25 - 9)/25
= 16/25
∴ sinx = 4/5

এখন,
tanx = sinx/cosx
= (4/5)/(3/5)
= (4/5) × (5/3)
= 4/3
∴ tanx = 4/3

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h
বা, h₁ = h/3
বা, h₁/h = 1/3
বা, h₁ : h = 1 : 3

প্রশ্ন: যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১৫
=  ২৭০ বর্গফুট

৪০% মেঝে =  ২৭০ বর্গফুট
⇒ ১% মেঝে =  ২৭০/৪০ বর্গফুট
⇒ ১০০% বা সম্পূর্ণ মেঝে =  (২৭০ × ১০০) /৪০ বর্গফুট = ৬৭৫ বর্গফুট

প্রশ্ন: secA - tanA = 1/6 হলে, secA + tanA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ (1/6)(secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 1/(1/6)
⇒ secA + tanA = 6

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান: 
cot0° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

অন্যদিকে, 
sin0° এর মান = 0
cos0° এর মান = 1
এবং tan0° এর মান = 0

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে 51 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 51 মিটার
এখন, 
∆AOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/51
বা, AB√3 = 51
বা, AB = 51/√3
বা, AB = 51√3/(√3.√3)
বা, AB = 51√3/3
∴ AB = 17√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 17√3 মিটার।

প্রশ্ন: tan2A = √3 হলে, A = ?

সমাধান: 
tan2A = √3 = tan60°
⇒ 2A = 60° 
∴ A = 30°

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. গিয়ে এবং প্রতিকূলে ৩ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
মোট সময় = (২ + ৩) ঘণ্টা = ৫ ঘণ্টা
মোট দূরত্ব = (১৫ + ১৫) কি.মি. = ৩০ কি.মি. 

∴ ঘণ্টায় গড় গতিবেগ = (৩০/৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কি.মি বেগে চলমান একটি ট্রেন ৩৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ২৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
৭২ কি.মি = ৭২০০০ মিটার

৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০/৩৬০০ মিটার
∴ ২৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৭২০০০ × ২৫)/৩৬০০ মিটার
= ৫০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫০০ - ৩৫০) মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৪০০ জন শ্রমিকের ৪২ দিন সময় লাগে। ২০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে?

সমাধান: 
৪২ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ জন
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ × ৪২ জন
∴ ২০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৪০০ × ৪২)/২০ জন
= ৮৪০ জন

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮৪০ - ৪০০) জন
= ৪৪০ জন।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/২০) অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা,
৭/৬০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬০)/৭ মিনিটে
= ৬০/৭ মিনিটে

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ১২ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ১৫ কি.মি./ঘন্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
{(ক/২)/১২} + {(ক/২)/১৫} = ১০
বা, (ক/২৪) + (ক/৩০) = ১০
বা, ৫ক + ৪ক = ১০ × ১২০
বা, ৯ক = ১০ × ১২০
বা, ক = (১০ × ১২০)/৯
∴ ক = ৪০০/৩ কি.মি

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ১৮ দিনে করতে পারে এবং খ কাজটি তার দ্বিগুণ সময়ে করে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করার কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকী কাজটুকু খ ১২ দিনে শেষ করে। কাজটি মোট কতদিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:
ক কাজটি করে = ১৮ দিনে
তাহলে খ কাজটি করবে =  ১৮ × ২ = ৩৬ দিনে

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করবে = (১/১৮ + ১/৩৬)
= (২ + ১)/৩৬
= ৩/৩৬
= ১/১২ অংশ

এখন, খ ১ দিনে করে = ১/৩৬ অংশ
খ ১২ দিনে করে = ১২/৩৬ = ১/৩ অংশ

বাকী কাজ = ১ - (১/৩) = ২/৩ অংশ

তারা ১/১২ অংশ করে ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে ১২/১ দিনে
∴ ২/৩ অংশ করে (১২/১)  × (২/৩) = ৮ দিনে

∴ মোট সময় = ১২ + ৮ = ২০ দিন

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মি.
আপেক্ষিক বেগ = (৩৬ + ৩৬) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × (৫/১৮) মি./সে.
= ২০ মি./সে.

সময় = ১২ সে.
∴ মোট দূরত্ব = (ক + ১২০) মি.

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
বা, ক + ১২০ = ১২ × ২০
বা, ক + ১২০ = ২৪০
বা, ক = ২৪০ - ১২০
∴ ক = ১২০ মি.

প্রশ্ন: ৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:

∴ ৪২৪ জন সৈন্য সরিয়ে রাখলে সম্পূর্ণ দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: ১২^৩ কে সর্বনিম্ন কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১২^৩
= (৩ × ৪)^৩
= (৩^৩) × (৪^৩)
= (৩^৩) × (২^২)^৩
= (৩^৩) × (২^৬)
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
∴ ২^৬ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ ,
কিন্তু ৩^৩ সংখ্যাটির ঘাত বিজোড় হওয়ায় তা পূর্ণবর্গ নয়।

৩^৩ এর সাথে ৩ গুণ করলে গুণফল হবে,
 (৩^৩) × ৩
= ৩^৪  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

∴ ১২^৩ কে সর্বনিম্ন ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: (?) প্রশ্নবোধক স্থানে নিচের কোন সংখ্যাটি বসবে?


সমাধান:
প্রথম কলামে,
(৬ × ৫ × ৪) = ১২০

দ্বিতীয় কলামে,
(৬ × ৭ × ৩) = ১২৬

তৃতীয় কলামে, 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
∴ (৮ × ৫ × ক) = ৩২০
⇒ ৪০ক = ৩২০
⇒ ক = ৩২০/৪০
⇒ ক = ৮

প্রশ্ন: ঘড়িতে ৩ : ৪০ মিনিট বাজার সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:
ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,
= (১১ × M - ৬০ × H)/২
= (১১ × ৪০ - ৬০ × ৩)/২
= (৪৪০ - ১৮০)/২
= ২৬০/২
= ১৩০°

প্রশ্ন: ২০২৪ সালের ২৪ অক্টোবর বৃহস্পতিবার ছিল। ঐ বছরের ২রা ডিসেম্বর কী বার ছিল?

সমাধান:
অক্টোবর মাস = ৩১ দিন
নভেম্বর মাস = ৩০ দিন

২৪ অক্টোবর থেকে ২রা ডিসেম্বর পর্যন্ত মোট দিন, (৩১ - ২৪) + ৩০ + ২ দিন
= (৭ + ৩২) দিন
= ৩৯ দিন

এখন, ৩৯ ÷ ৭ = ভাগফল ৫, ভাগশেষ ৪

যেহেতু ভাগশেষ ৪, তাহলে ২রা ডিসেম্বর হবে বৃহস্পতিবার + ৪ দিন
অর্থাৎ, সোমবার

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় ৬ : ২৬ মিনিট হলে প্রকৃত সময় কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ - আয়নায় দেখানো সময়
= ১১ : ৬০ - ৬ : ২৬
= ৫ : ৩৪