Math Master

প্রশ্ন: একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৫/৭) = ২/৭

ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮

∴ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (২/৭) × (৫/৮)
= ১০/৫৬
= ৫/২৮

প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার গড় ১৪। এর মধ্যে শেষ ৩টি সংখ্যার গড় ১৮ হলে, প্রথম ২টি সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৫টি সংখ্যার গড় ১৪
৫টি সংখ্যার সমষ্টি (১৪ × ৫) = ৭০

শেষ ৩টি সংখ্যার গড় ১৮ 
শেষ ৪টি সংখ্যার সমষ্টি  (১৮ × ৩) = ৫৪ 

প্রথম ২টি সংখ্যার সমষ্টি (৭০ - ৫৪) = ১৬
প্রথম ২টি সংখ্যার গড় (১৬ ÷ ২) = ৮ 

প্রশ্ন: A = {12, 13, 19} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = ৩ টি
A এর প্রকৃত উপসেট = ২^৩ = ৮ টি
প্রকৃত উপসেট = ৮ - ১ = ৭ টি

প্রশ্ন: ৩০ - ৪০ এর শ্রেণি ব্যবধান কত? 

সমাধান: 
৩০ - ৪০ এর শ্রেণি ব্যবধান = (৪০ - ৩০) + ১
= ১০ + ১
= ১১ 

প্রশ্ন: U = {1, 2, 5, 6, 9, 11, 14}, A = {2, 5, 14} হলে, A^c =? 

সমাধান: 
A^c = U - A 
=  {1, 2, 5, 6, 9, 11, 14} - {2, 5, 14}
= {1, 6, 9, 11}

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6  মোট 6 টি
জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: 2, 4, 6, 3 মোট 4 টি

∴ ছক্কাটি নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা, 4/6 = 2/3 

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে দুইটি তাস নিলে তাস দুইটি রাণী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক প্যাকেটে তাস থাকে = 52 টি
মোট রাণী থাকে = 4টি
4টি রাণী থেকে 2টি রাণী নেওয়া যায় = ⁴C₂ = 6
52টি তাস থেকে 2টি তাস নেওয়া যায় = ⁵²C₂ = 1326

∴ সম্ভাবনা = 6/1326 = 1/221

প্রশ্ন: A = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
বস্তু জগতের বা চিন্তাজগতের বস্তু বা ধারণার যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা, সংগ্রহ বা শ্রেণিকে সেট বলে।
সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়।
যথা:
(১) তালিকা পদ্ধতি  এবং
(২)সেট গঠন পদ্ধতি 

A = {4, 8, 12, 16, 20}
A সেটের উপাদান গুলো হলো 4, 8, 12, 16, 20
যা 20 এর সমান বা 20 থেকে ছোট 4 এর গুণিতক। 

∴ A সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}

প্রশ্নঃ 4, 8 এবং 16 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধানঃ
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =


∴ 2, 4 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় = (4 × 8 × 16)^1/3
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে গড় নাম্বার ৮০, যাদের মধ্যে ৪০ জন ছাত্রের গড় নাম্বার ৮৭.৫। ছাত্রীদের গড় নাম্বার কত?

সমাধান:
ছাত্রীসংখ্যা = ১০০ - ৪০ = ৬০
∴ ছাত্রীদের গড় নাম্বার = (১০০ × ৮০ - ৪০ × ৮৭.৫ ) / ৪০ = (৮০০০ - ৩৫০০) / ৪০ = ৩৫০০/৬০ =৭৫ 

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে 1/5 এবং 1/10 । তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান: 
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/5 = 4/5
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/10 = 9/10

∴ A ও B এর একত্রে না পারার সম্ভাব্যতা = (4/5) × (9/10) = 18/25

∴ A ও B এর একত্রে পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (18/25) = 7/25

প্রশ্নঃ ১, ৪, ৭, ২, ৪, ৬, ১, ২, ১৯ ,১০, ১ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত? 

সমাধানঃ 
উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যাটি সব থেকে বেশি সংখ্যকবার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
প্রদত্ত উপাত্তে ১ সংখ্যাটি তিন বার আছে ।
এখানে প্রচুরক = ১

প্রশ্ন: যদি A সংখ্যক সংখ্যার গড় m এবং B সংখ্যক সংখ্যার গড় n হয় তবে সবগুলো সংখ্যার মোট গড় কত?

সমাধান: 
A সংখ্যক সংখ্যার গড় m
A সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Am

B সংখ্যক সংখ্যার গড় n
B সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Bn 

∴ সবগুলো সংখ্যার মোট গড় = (Am + Bn)/(A + B)

প্রশ্ন: 1, 3 এবং 5 দ্বারা সম্ভাব্য সকল সংখ্যা গঠন করে যেকোন একটি সংখ্যা দৈবভাবে চয়ন করলে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
1, 3 এবং 5 এই তিনটি সংখ্যা দ্বারা সংখ্যা গঠন করা যায় = 3! = 6

শেষে 5 কে স্থির রেখে বাকি 2টি সংখ্যাকে সাজানো যায় = 2! = 2

সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা= 2/6 = 1/3