ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: (11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰
=1 + (11 × 1) + 1 
= 1 + 11 + 1
= 13

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০তম পদ।

প্রশ্ন: log_xy⁴ = 4p এবং log_yx³ = 3q হলে, pq = কত?

সমাধান:
log_xy⁴ = 4p
⇒ 4log_xy = 4p
⇒ log_xy = p

log_yx³ = 3q
⇒ 3log_yx = 3q
⇒ log_yx = q

আমরা জানি,
log_xy × log_yx = 1

∴ pq = p × q
= log_xy × log_yx
= 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৮ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারাটির ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৬
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১) × d
∴ ১০০তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৬
= ৮ + (৯৯ × ৬)
= ৮ + ৫৯৪
= ৬০২

∴ ১০০তম পদটি হলো ৬০২

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192/24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a = 24/4
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন: log₃(9/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(9/81)
= log₃(1/9)
= log₃(1/3²)
= log₃(3^-2)
= - 2 × log₃3  [log_aMⁿ = n × log_aM]
= - 2 × 1 [log_aa = 1]
= - 2

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1
⇒ log₁₀8 + log₁₀(3b + 1)] = log₁₀(2b + 3) + log₁₀10
⇒ log₁₀{8 × (3b + 1) = log₁₀{10 × (2b + 3)} [log_a​M+log_a​N=log_a​(M×N)]
⇒ log₁₀(24b + 8) = log₁₀(20b + 30)
⇒ (24b + 8) = (20b + 30)
⇒ 24b - 20b = 30 - 8
⇒ 4b = 22
⇒ b = 22/4
∴ b = 11/2

প্রশ্ন: 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} = ?

সমাধান:
2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1}
= 2^{x + 1}(1 + 1 + 1 + 1)
= 2^{x + 1} × 4
= 2^{(x + 1)} × 2²
= 2^{x + 1 + 2}
= 2^{x + 3}

প্রশ্ন: (81)^0.3 × (81)^0.2  =?

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{- (x - 1)}
⇒ 2x - 5 = - (x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: ২ + ৬ + ১০ + ........ + ৭৮ = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৬ − ২ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৭৮
⇒ a + (n − ১)d = ৭৮
⇒ ২ + (n − ১) × ৪ = ৭৮
⇒ (n − ১) × ৪ = ৭৬
⇒ n − ১ = ৭৬/৪
⇒ n − ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n − 1)d}
= (২০/২){২ × ২ + (২০ − ১) × ৪}
= ১০ × (৪ + ৭৬)
= ১০ × ৮০
= ৮০০

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

= log₁₆(4¹ × 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log₁₆16^2/3
= (2/3) × log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান: