প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: ৩৫ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৩৫ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৩৭
৩৫ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা  ৭৯

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি = ৭৯ + ৩৭ = ১১৬
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১১৬/২ = ৫৮

প্রশ্ন: ১/৩, ৪/৯, ১৬/২১ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব ১, ৪, ১৬
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর ৩, ৯, ২১

১, ৪, ১৬ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৯, ২১ এর ল.সা.গু = ৬৩

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ভগ্নাংশগুলোর লবের গ.সা.গু/ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু
= ১/৬৩

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৬৩

প্রশ্ন: ক ও খ-এর বেতনের অনুপাত ৯ : ৭। ক, খ অপেক্ষা ৬০০ টাকা বেতন বেশি পেলে খ এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন ৯ক টাকা 
খ এর বেতন ৭ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৯ক - ৭ক = ৬০০
বা, ২ক = ৬০০
∴ ক = ৩০০ টাকা।

∴ খ এর বেতন = (৭ × ৩০০) টাকা
= ২১০০ টাকা।

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি, 
১ম কোণ = x
২য় কোণ = 2x
৩য় কোণ = 2x
৪র্থ কোণ = 3x

আমরা জানি,
চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
∴ x + 2x + 2x + 3x = 360°
বা, 8x = 360°
∴ x = 45°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 45°) = 135°

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = 135° - 45° = 90°

প্রশ্ন: কোনো একটি জিনিস নির্মাতা ২০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ জিনিসের নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে,
নির্মাতার লাভ = ১০০ × ২০% = ২০ টাকা

এখন খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মুল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

আবার,
খুচরা বিক্রেতার লাভ ২০% = ১২০ × ২০% = ২৪ টাকা

∴ জিনিসটির খুচরা মুল্য = ১০০ + ২০ + ২৪ = ১৪৪ টাকা

প্রশ্ন: 3^{3x - 5} = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
3^{3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 5} = 3⁰
বা, 3x - 5 = 0
বা, 3x = 5 
বা, x = 5/3

প্রশ্ন: কোন আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৪ বছরে সুদে-আসলে ৪৮০ টাকা হয়। শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
৪ বছরের সুদ + আসল = ৪৮০ টাকা
৩ বছরে সুদ + আসল = ৪৬০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ২০ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = ৬০ টাকা

সময়, n = ৩ বছর
∴ আসল, P = ৪৬০ - ৬০ = ৪০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pr
বা, r = (৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
∴ r = ৫%

প্রশ্ন: p² + 2ap - 2a - 1 এর একটি উৎপাদক -

সমাধান:
p² + 2ap - 2a - 1
= (p² - 1) + 2ap - 2a
= (p + 1)(p - 1) + 2a (p - 1)
= (p - 1)(p + 2a + 1)

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................. (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................. (2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠A + ∠C
= ∠A + 180° [তিন কোণের সমষ্টি = 180°]
= 60° + 180°
= 240°

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 16তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ = 1

২য় পদ - ১ম পদ = 5 - 1 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 9 - 5 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 16 তম পদ = 1 + (16 - 1) × 4
= 1 + (15 × 4)
= 1 + 60
= 61

প্রশ্ন: সুমন ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২৩ বছর। সুমনের স্ত্রী ও ঐ ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২১ বছর। স্ত্রীর বয়স ৫৫ বছর হলে, সুমনের বয়স কত?

সমাধান: 
সুমন ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২৩ বছর
সুমন ও ৪ পুত্রের মোট বয়স = (২৩ × ৫) বছর = ১১৫ বছর

সুমনের স্ত্রী ও  ৪ পুত্রের বয়সের গড় = ২১ বছর
সুমনের স্ত্রী ও  ৪ পুত্রের মোট বয়স = (২১ × ৫) বছর = ১০৫ বছর

স্ত্রীর বয়স ৫৫ বছর
৪ পুত্রের মোট বয়স = (১০৫ - ৫৫) বছর
= ৫০ বছর

∴ সুমনের বয়স = (১১৫ - ৫০) বছর
= ৬৫ বছর

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 3 হলে, xy/2 এর মান কত?

সমাধান: 
x + y = 7 
x - y = 3

আমরা জানি 
4xy  = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = 7² - 3²
⇒ 4xy = 49 - 9
⇒ 4xy = 40
⇒ xy = 40/4
⇒ xy = 10
∴ xy/2 = 10/2 = 5

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x

প্রশ্নমতে 
3x + 2x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18° 

∴ ∠B = 2x = 2 × 18° = 36°

প্রশ্ন: ১৫৬ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৫ ভাগ, B এর ৬ ভাগ এবং C এর ৫ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে C কতটুকু আছে?

সমাধান:
ধরি,
A : B : C = ১৫ক : ৬ক : ৫ক

প্রশ্নমতে,
১৫ক + ৬ক + ৫ক = ১৫৬
বা, ২৬ক = ১৫৬
বা, ক = ১৫৬/২৬
∴ ক = ৬ 

∴ মিশ্রণে C আছে = (৫ × ৬) কেজি = ৩০ কেজি

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C এর মান কত? 

সমাধান: 
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}
A = {2, 3, 5}

B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
B = {2, 4, 6}

C = A - B
= {2, 3, 5} - {2, 4, 6}
= {3, 5}

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৬)^২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০ 

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ৬৪ টাকা কত টাকার ৬.২৫%?

সমাধান: 
ধরি,
৬৪ টাকা x টাকার ৬.২৫%

অর্থাৎ x এর ৬.২৫% = ৬৪ টাকা
⇒ x × (৬.২৫/১০০) = ৬৪ 
⇒ x = (৬৪ × ১০০)/৬.২৫
∴ x = ১০২৪

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a 
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
 a√2 = 8√2 
 ∴ a = 8

ঘনকটির আয়তন = a³
= 83
= 512 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১৫ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
√x + ১৫ = ৫^২
বা, √x = ২৫ - ১৫
বা, √x = ১০
বা, x = ১০^২
∴ x = ১০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি ১০০।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা. গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৭ক  এবং
অপর সংখ্যাটি ৮ক

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক  এবং ল.সা.গু = ৫৬ক

শর্তমতে, 
ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫৬ × ৫ = ২৮০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?

সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫
২/৩ = ০.৬৬৭
৭/৮ = ০.৮৭৫

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে। খ একা ১৪ দিনে কাজটি শেষ করতে পারলে ক একা কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = ১/১০ অংশ
খ একা ১ দিনে করে = ১/১৪ অংশ

∴ ক একা ১ দিনে করে = (১/১০ - ১/১৪) অংশ
= (৭ - ৫)/৭০ অংশ
= ২/৭০ অংশ
= ১/৩৫ অংশ

ক একা ১/৩৫ অংশ শেষ করে ১ দিনে
∴ ক একা ১ বা সম্পূর্ণ  অংশ শেষ করে (১ × ৩৫) দিনে
= ৩৫ দিনে

প্রশ্ন: [2 - (3 ^{- 1}) ^{- 1}] ^{- 1} + 1 = কত?

সমাধান:
[2 - (3 ^{- 1}) ^{- 1}] ^{- 1} + 1 
= [2 - (1/3) ^{- 1}] ^{- 1} + 1
= [2 - 1/(1/3)] ^{- 1} + 1
= [2 - 3] ^{- 1} + 1
= - 1 + 1
= 0

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ১০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান;
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = {১০০০(১ + ১০/১০০)^৩} - ১০০০
= {১০০০ (১১/১০)^৩} - ১০০০
= ১৩৩১ - ১০০০
= ৩৩১ টাকা

সরল মুনাফা = ১০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ৩০০ টাকা

∴ পার্থক্য = (৩৩১ - ৩০০) টাকা
= ৩১ টাকা

প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 2 হলে 16x² - 56xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5
y = 2

এখন,
16x² + 56xy + 49y²
= (4x)² - 2 . 4x . 7y + (7y)²
= (4x - 7y)²
= (4 . 5 - 7 . 2)²
= (20 - 14)²
= 6²
= 36

প্রশ্ন: 4 কি.মি./ঘণ্টায় বেগে চললে কোন স্থানে পৌছতে যে সময় লাগে, 5 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে তার চেয়ে 1/2 ঘণ্টা কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থানটির দূরত্ব x কি.মি.
4 কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোন স্থানে পৌছতে সময় লাগে = x/4 ঘণ্টা

আবার,
5 কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোন স্থানে পৌছতে সময় লাগে = x/5 ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x/4 - x/5 = 1/2
বা, (5x - 4x)/20 = 1/2
বা, x/20 = 1/2
বা, 2x = 20
∴ x = 10

∴ স্থানটির দূরত্ব 10 কি.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ২৮. ৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ২৮.৫) টাকা
= ৬৮৪ টাকা

প্রশ্ন: ৩% করসহ একটি পণ্যের মূল্য ৮২.৪০ টাকা হলে, পণ্যটির করবিহীন মূল্য কত?

সমাধান:
৩% করসহ মূল্য = (১০০ + ৩) টাকা = ১০৩ টাকা

করসহ মূল্য ১০৩ টাকা হলে করহীন মূল্য ১০০ টাকা
∴ করসহ মূল্য ১ টাকা হলে করহীন মূল্য = ১০০/১০৩ টাকা
∴ করসহ মূল্য ৮২.৪০ টাকা হলে করহীন মূল্য = (১০০ × ৮২.৪০)/১০৩ টাকা
= ৮০ টাকা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান: 
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 44 = 1/2 × a × 8
বা, 44 = 4a
∴ a = 11

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 11 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫^২  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫  বর্গসে.মি.
= ১৫০  বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫  বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 = a, তবে log₁₀(50) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀5 = a

এখন,
log₁₀(50)
= log₁₀(5 × 10)
= log₁₀5 + log₁₀10
= a + 1

প্রশ্ন: ১৬০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও দুই মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। প্রত্যেক মেয়ে কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
∴ খ পায় = ১৬০০ এর (৪/৫) = ১২৮০ টাকা

খ : মা : মেয়ে = ২ : ১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪

∴ দুই মেয়ে পায় = ১২৮০ এর (১/৪) = ৩২০ টাকা

∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = ৩২০/২ = ১৬০ টাকা