Math Master

- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ
- বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।

 প্রশ্ন: যদি দুইটি বৃত্ত বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে তবে সর্বোচ্চ কয়টি সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যাবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে কোন বিন্দুতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 4 সে. মি.
OB = 5 সে. মি.
ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব, OA ⊥ AB

∴ ΔOAB হতে পাই,
OB² = OA² + AB²
⇒ AB² = OB² - OA²
⇒ AB² = 5² - 4²
⇒ AB² = 25 - 16
⇒ AB² = 9
∴ AB = 3

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 4 সে. মি. এবং অপরটির ব্যাস 6 সে. মি. হলে এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 সে. মি. 
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাস = 6 সে. মি.
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6/2 সে. মি. = 3 সে.মি.

বৃত্ত দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (4 + 3) সে. মি.
= 7 সে. মি.

প্রশ্ন: বৃত্তে অর্ন্তলিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
উপরোক্ত চিত্র হতে পাই,
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের এক বাহু = 24/4 মিটার = 6 মিটার 

এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু x √2
∴ ব্যাস= 6√2 মিটার
ব্যাসার্ধ = (6√2)/2 মিটার = 3√2 মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(3√2)² = 18π

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি,
অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2)180°
= (5 - 2) x 180°
= 540°

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের উপচাপে অর্ন্তলিখিত কোণ কোনটি?

সমাধান:
স্থূলকোণ বলতে ৯০° অপেক্ষা বড় এবং ১৮০° অপেক্ষা ছোট যেকোনো কোণকে বুঝায়।

প্রশ্ন: P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর R বিন্দুতে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। ∠PRQ এর মান কত?

সমাধান:

∵ ∠PRQ একটি সরলকোণ,
∴ ∠PRQ = 180°

একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ নূন্যতম কয়টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে?


একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ নূন্যতম 2টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে। 
নিম্নের চিত্রে একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ দুটি নির্দিষ্ট 2টি বিন্দুতে ছেদ করেছে।


 অপরদিকে, একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ সর্বোচ্চ 6টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

প্রশ্ন: যদি দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হয় তখন একটিকে অপরটিকে কী বলে?

সমাধান:
সম্পূরক কোণের সংঙ্গানুসারে, দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহুকে চক্রাকারে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহি:স্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

 
আমরা জানি, যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ২ ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোনটি কত?

সমাধান:
ধরি, 
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
অপর সূক্ষ্মকোণ = ক + ২

শর্তানুসারে,
ক + ক + ২ = ৯০°
বা, ২ক = ৯০° - ২
বা, ক = ৮৮°/২
∴ ক = ৪৪°

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অপেক্ষা অতিভুজ 3 সে.মি. বড়, কিন্তু লম্ব, ভুমি অপেক্ষা 3 সে.মি. ছোট হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি.
ত্রিভুজের লম্ব = (x - 3) সে.মি.
ত্রিভুজের অতিভুজ = (x + 3) সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই, x² + (x - 3)² = (x + 3)²
বা, x² + x² - 6x + 9 = x² + 6x + 9
বা, 2x² - 6x + 9 - x² - 6x - 9 = 0
বা, x² - 12x = 0
বা, x(x - 12) = 0

হয়, x = 0 [গ্রহণ যোগ্য নয়, কেননা অতিভুজ কখনও 0 বা ঋণাত্বক হতে পারে না]

অথবা, x - 12 = 0 ∴ x = 12

ত্রিভুজের অতিভুজ = (x + 3) সে.মি. = (12 + 3) সে.মি. = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন: △XYZ এর XY ও XZ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N হলে MN = কত?

সমাধান:
কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হলে, এর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর অর্ধেক। 
চিত্র হতে, MN = (1/2)YZ

প্রশ্ন: EF ও GH সরলরেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সরলরেখা পরস্পর পরস্পরকে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

চিত্রে EF ও GH সরলরেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে বিপ্রতীপ কোণ ∠EOH ও বিপ্রতীপ কোণ ∠GOF এবং বি
প্রতীপ কোণ ∠EOG বিপ্রতীপ কোণ ∠HOF পরস্পর সমান।
∴ ∠EOH = ∠GOF

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার