Math Master

৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০
= ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০ - (১ + ২)
= ৪০(৪০ + ১)/২ - ৩
= ২০ × ৪১ - ৩
= ৮২০ - ৩
= ৮১৭

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদসংখ্যা n হলে,
n তম পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২১/২{২.১ + (২১ - ১)৪}
= ২১/২(২ + ২০ × ৪)
= ২১/২ × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

১ম পদ a = ১৩,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদ সংখ্যা n হলে n তম পদ = a + (n - ১)d = ১৬৫
বা, ১৩ + (n - ১)৪ = ১৬৫
(n - ১)৪ = ১৫২
n - ১ = ৩৮
∴ n = ৩৯

১ম পদ a = ৩,
সাধারণ অন্তর d = ৩
n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ১১৪ = ৩ + (n - ১)৩
বা, (n - ১)৩ = ১১৪ - ৩
বা, (n - ১)৩ = ১১১
বা, n - ১ = ৩৭
বা, n = ৩৭ + ১
= ৩৮

১ম পদ a = ১৭,
সাধারণ অন্তর d = ৫
∴ ২৩ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৭ + (২৩ - ১)৫
= ১৭ + ২২ × ৫
= ১২৭

a = ৩৭,
d = -৪,
∴ পদ সংখ্যা n = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(-২৩ - ৩৭)/-৪} + ১
= {-৬০/-৪} + ১
= ১৫ + ১
= ১৬

∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১৬/২{২.৩৭ + (১৬ - ১)(-৪)}
= ৮ × (৭৪ - ৬০)
= (৮ × ১৪)
= ১১২

২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ....... + ২০^২
= ২^২.১^২ + ২^২.২^২ + ২^২.৩^২ +........+২^২.১০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ৩^২ +.......+ ১০^২)
= ৪[১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)]
= ৪ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৯২৪০/৬
= ১৫৪০

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫.....
= ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = (১৮)^২
= ৩২৪

এখানে, a = ১,
d = ৪
∴ n পদের সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= n/২{২.১ + (n - ১)৪}
= n/২(২ + ৪n - ৪)
= n/২(৪n - ২)
∴ n/২(৪n - ২) = ৮৬১
৪n² - ২n = ৮৬১ × ২
বা, ৪n² - ২n - ১৭২২ = ০
বা, ২n² - n - ৮৬১ = ০
বা, ২n² - ৪২n + ৪১n - ৮৬১ = ০
বা, ২n(n - ২১) + ৪১(n - ২১) = ০
বা, (n - ২১)(২n + ৪১) = ০
বা, n - ২১ = ০
∴ n = ২১

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

১ম পদ = 1.3^1-1 = 1.3⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = 2.3^{2 - 1} = 2.3 = 6
৩য় পদ = 3.3^{3 - 1} = 3.3² = 27
৪র্থ পদ = 4.3^{4 - 1} = 4.3³ = 4.27 = 108
∴ সমষ্টি = 1 + 6 + 27 + 108 = 142

১ম পদ a = ৮,
সাধারণ অনুপাত r = ২
∴ n তম পদ = ar^{n - ১} = ১২৮
বা, ৮ ×২^{n - ১} = ১২৮
২^{n - ১} = ১৬
বা, ২^{n - ১} = ২^৪
বা, n - ১ = ৪
∴ n = ৫

১ম পদ a = ২৪৩,
r = -(১/৩) < ১
∴ সমষ্টি = a.(১ - r^৬)/(১ - r)
= ২৪৩ × [১ - {-(১/৩)}^৬]/[১ - {-(১/৩)}]
= ২৪৩ × (১ - ১/৭২৯)/(১ + ১/৩)
= ২৪৩ × (৭২৮/৭২৯)/(৪/৩)
= ২৪৩ × ৭২৮/৭২৯ × ৩/৪
= ১৮২

a = ১/৪,
r = √২ > ১
∴ সমষ্টি = a.(r^১০ - ১)/(r - ১)
= ১/৪.{(√২)^১০ - ১}/(√২ - ১)
= {(√২)^১০ - ১}/৪(√২ - ১)
= (২^৫ - ১)/৪(√২ - ১)
= ৩১/৪(√২ - ১)
= ৩১(√২ + ১)/{৪ (√২ + ১)(√২ - ১)}
= ৩১(√২ + ১)/৪(২- ১)
= ৩১/৪ × (√২ + ১)

1, 2, 3 ...... ধারার n তম পদ = 1 + (n - 1)1 = n
2, 3, 4 ...... ধারার n তম পদ = 2 + (n - 1)1 = n + 1
∴ 1/2, 2/3, 3/4 ...... ধারার n তম পদ = n/(n + 1)

১ম পদ = a,
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ১ম 6টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
১ম 3টি পদের সমষ্টি = a.(r³ - 1)/(r - 1)
শর্তানুসারে,
a.(r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
বা, r⁶ - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³)² - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³ + 1)(r³ - 1) = 9(r³ - 1)
বা, r³ + 1 = 9
বা, r³ = 8
= 2³
∴ r = 2