৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার চারগুণের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে ১৮ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৪ক + ৬ = ক + ১৮
বা, ৪ক - ক = ১৮ - ৬
বা, ৩ক = ১২
বা, ক = ১২/৩
∴  ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে, তার বিপরীত কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°।

প্রশ্ন: ৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৭ জন ফেল করলে পাসের হার কত? 

সমাধান: 
৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ২৭ জন 
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ২৭/৯০ জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = (২৭ × ১০০)/৯০ জন 
= ৩০ জন 

∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাস করে = (১০০ - ৩০)%
= ৭০%। 

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.
আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি. 

আমরা জানি, 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১২) সে.মি. 
= ২০ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৮১০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮১০)/৯০ টাকা 
= ৯০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা।

প্রশ্ন: ∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
∠B = ∠A/2

শর্তমতে, 
∠A + ∠B = 180° 
বা, ∠A + (∠A/2) = 180° 
বা, {(2∠A + ∠A)/2} = 180° 
বা, (3∠A)/2 = 180° 
বা, ∠A = (180° × 2)/3
∴ ∠A = 120° 

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৬০ × (৩/৫)} = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৬০ × (২/৫)} = ২৪ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩৬ : (২৪ + x) = ২ : ৩
বা, ৩৬/(২৪ + x) = ২/৩ 
বা, ১০৮ = ৪৮ + ২x 
বা, ২x = ১০৮ - ৪৮ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 

∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার 
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার 
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ৯৩৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১২ বৎসরে সুদে-আসলে ৭ গুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৭ গুণ = ৭x টাকা 
∴ সুদ = (৭x - x) টাকা 
= ৬x টাকা 

x টাকার ১২ বৎসরের সুদ = ৬x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ৬x/(x × ১২) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (৬x × ১০০)/(x × ১২) টাকা 
= ৫০ টাকা 

∴ সুদের হার = ৫০% ।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা । 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 20 মিটার বেশি এবং পরিসীমা 180 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - 20) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 {x + (x - 20)} মিটার
= 2 (2x - 20) মিটার
= (4x - 40) মিটার

প্রশ্নমতে,
4x - 40 = 180
বা, 4x = 180 + 40
বা, 4x = 220
বা, x = 220/4
∴ x = 55
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 55 মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (55 - 20) মিটার
= 35 মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (55 × 35) বর্গমিটার
= 1925 বর্গমিটার ।

প্রশ্ন: একটি গ্রামের লোকসংখ্যা ১৮% হারে বৃদ্ধি পেয়ে ২৫৯৬ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা কত ছিল? 

সমাধান: 
১৮% বৃদ্ধিতে- 
বর্তমান লোকসংখ্যা ১১৮ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১৮ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ২৫৯৬ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২৫৯৬)/১১৮ জন 
= ২২০০ জন 

∴ পূর্বের লোকসংখ্যা = ২২০০ জন।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে কত টাকা লাভ হতো? 

সমাধান: 
১৫% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫০০)/১০০ টাকা 
= ৫৭৫ টাকা 

ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে = {৫০০ - (৫০০ × ১৫)/১০০} টাকা 
= ৪২৫ টাকা 

∴ মোট লাভ = (৫৭৫ - ৪২৫) টাকা 
= ১৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
একটি কোণ = x হলে, 
কোণটির দ্বিগুণ হবে = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 50°
বা, x = 50°/2
∴ x = 25° 

∴  25° এর পূরক কোণ = (90° - 25°)
= 65°  ।

প্রশ্ন: প : ক = ৩ : ৪ এবং ক : খ = ৫ : ৬ হলে প : খ = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প : ক = (৩ : ৪) × ৫
= ১৫ : ২০

আবার, 
ক : খ = (৫ : ৬) × ৪
= ২০ : ২৪
∴ প : ক : খ = ১৫ : ২০ : ২৪

সুতরাং, প : খ = ১৫ : ২৪ 
= ৫ : ৮ । 

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৯ মিটার ও ৬ মিটার। উচ্চতা ৫ মিটার হলে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
 ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ × (৯ + ৬) × ৫ বর্গ মিটার
= ২ × ১৫ × ৫ বর্গ মিটার
= ১৫০ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: ১০% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ২০০০ টাকার মুনাফা ৪০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ২০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ৪০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
∴ n = I/Pr 
= ৪০০/{২০০০ × (১/১০)}
= ৪০০/(২০০০/১০)
= ৪০০/২০০ 
= ২ বছর ।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তা হলো = ২, ৩, ৫, ৭ ও ১১
∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাগুলো গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৩৫ × ১১
= ২৩১০ ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪ সেন্টিমিটার এবং ২০ সেন্টিমিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৪ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ২০ সেন্টিমিটার 

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল} বর্গ একক 
= {(১/২) × ১৪ × ২০} বর্গ সেন্টিমিটার
= ১৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ১৮ টি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করে ৬০% নম্বর পেল। ৯০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে? 

সমাধান: 
৬০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৮ টি 
∴ ১% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৮/৬০ টি 
∴ ৯০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = (১৮ ×৯০)/ ৬০ টি 
= ২৭ টি 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ২৭ টি ।

প্রশ্ন: করিম সাহেব ৪০০০০ টাকায় একটি যন্ত্র ক্রয় করে মেরামতের জন্য ২৫০০ টাকা এবং পরিবহনের জন্য ৫০০ টাকা ব্যয় করেন। তিনি যন্ত্রটি ২৫% লাভে বিক্রি করেন। যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
মেশিন বাবদ সর্বমোট খরচ হয় = (৪০০০০ + ২৫০০ + ৫০০) টাকা
= ৪৩০০০ টাকা

২৫% লাভে, 
১০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ১ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ৪৩০০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৪৩০০০)/১০০ টাকা
= ৫৩৭৫০ টাকা

∴ যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য = ৫৩৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, P) বিন্দু দিয়ে যায় তবে P এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, P) বিন্দুগামী, তাই- 
3 - 2P + 8 = 0
বা, - 2P + 11 = 0 
বা, -2P = - 11
বা, P = -11/-2
∴ P = 11/2

প্রশ্ন: ক, খ ও গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ ও ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার সুদে ১০০০ টাকার ৩ বছরে যত সুদ হয়, বার্ষিক ৬% হার সুদে কত টাকার ২ বছরে তত সুদ হয়? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪/১০০ টাকা 
∴ ১০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৪ × ১০০০ × ৩)/১০০ টাকা 
= ১২০ টাকা 

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (৬ × ২) টাকা
= ১২ টাকা 

এখন, 
১২ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০/১২ টাকা 
∴ ১২০ টাকা সুদ হয় যখন আসল = (১০০ × ১২০)/১২ টাকা 
= ১০০০ টাকা ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু অপেক্ষা ২৫ গুণ বেশি। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
∴ দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ২৫x 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = দুটি সংখ্যার ল.সা.গু × দুটি সংখ্যার গ.সা.গুর 
∴ ২০২৫ = ২৫x × x 
⇒ ২৫x × x = ২০২৫ 
⇒ ২৫x^২ = ২০২৫ 
⇒ x^২ = ২০২৫/২৫
⇒  x^২ = ৮১  
⇒ x^২ = ৯^২ 
∴ x = ৯ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৫ × ৯ 
= ২২৫ ।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু = ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি
এবং 
উচ্চতা = ৫ সে.মি

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা} বর্গ একক 
= {(১/২) × (৬ + ১৪) × ৫} বর্গ সে.মি 
= {(১/২) × ২০ × ৫} বর্গ সে.মি 
= ৫০ বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৮% নিলে ৯৬ পাওয়া যায়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সংখ্যাটির ৮% = ৯৬
∴ সংখ্যাটির ১% = ৯৬/৮
∴ সংখ্যাটির ১০০% = (৯৬ × ১০০)/৮
= ১২০০ 

∴ সংখ্যাটি = ১২০০  ।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হবে- 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: রেখা সম্পর্কিত নিচের কোন তথ্যটি সঠিক? 

সমাধান: 
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ: 
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ৩৬ হলে, এর মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি = ৯ এবং 
৩য় রাশি = ৩৬ 
মধ্য সমানুপাতী = ? 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ৩৬
⇒ মধ্য রাশি = √৩২৪
∴ মধ্য রাশি = ১৮ । 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ব্যাংকে ৬০০ টাকা বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে জমা রাখলেন। দুই বছরের শেষে তিনি সুদসহ মোট কত টাকা পাবেন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৬০০ × (১ + ১০%)^২
= ৬০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৬০০ × (১ + ১/১০)^২
= ৬০০ × {(১০ + ১)/১০}^২
= ৬০০ × (১১/১০)^২
= ৬০০ × ১১/১০ × ১১/১০
= ৭২৬ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২৬ টাকা।

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-তে ভরকেন্দ্র G, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ একক। BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে। 
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১২০ 
= ৪০ বর্গ একক।