Math Master

প্রশ্ন- √৫ এবং √১২৫ এর মধ্য রাশি কত?

সমাধান-
মধ্য রাশি = √(√৫ × √১২৫)
= √(√৬২৫)
= √২৫
= ৫

প্রশ্ন - একটি সমানুপাতীর প্রথম ও চতুর্থ রাশির গুণফল ৪০, আবার দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির গুনফল ২.৫ক হলে, ক এর মান কত?

সমাধান-
আমরা জানি,
১ম রাশি × চতুর্থ রাশি = দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি
⇒ ৪০ = ২.৫ক
⇒ ক = ৪০/২.৫
⇒ ক = ১৬

প্রশ্ন- ৮৪০ টাকা ২ জন পুরুষ, ৫ জন মহিলা এবং ৮ জন বালকের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যেন প্রতি পুরুষ, মহিলা ও বালকের প্রাপ্ত অনুপাত যথাক্রমে ৩ : ২ : ১ হয়। প্রত্যেক বালক কত টাকা পায়?

সমাধান- 
মনে করি,
প্রতি পুরুষ, মহিলা ও বালকের প্রাপ্ত অনুপাত যথাক্রমে ৩ক : ২ক : ক

এখন,
(২ × ৩ক) + (৫ × ২ক) + (৮ × ক) = ৮৪০
⇒ ২৪ক = ৮৪০
⇒ ক = ৩৫

প্রশ্ন- দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের লসাগু ১৪০। সংখ্যা দুটির পার্থক্য কত?

সমাধান- 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৪ক এবং ৫ক

লসাগু = ২০ক

এখন,
২০ক = ১৪০
⇒ ক = ৭

বড় সংখ্যাটি = ৫ × ৭ = ৩৫
ছোট সংখ্যাটি = ৪ × ৭ = ২৮

∴ সংখ্যাটি = ৩৫ - ২৮ = ৭

প্রশ্ন- টিপুর বয়স তার বোনের বয়সের এবং তার বাবার বয়সের মধ্য সমানুপাতি। টিপুর বোন ও বাবার বয়স যথাক্রমে ১১ ও ৪৪ বছর হলে টিপুর বয়স কত?

সমাধান-
মধ্য সমানুপাতি = √(১ম রাশি × ৩য় রাশি)

টিপুর বয়স = √(১১ × ৪৪) 
= √৪৮৪
= ২২

প্রশ্ন- ১৭৫০ টাকা ক, খ এবং গ এর মধ্যে এমন ভাগ করে দেওয়া হলো যাতে ক, খ এর ২/৯ অংশ পায় এবং গ, ক এর ৩/৪ অংশ পায়। তাহলে গ কত টাকা পেল?

সমাধান-
ক = ২খ/৯
গ = ৩ক/৪ = (৩/৪) × (২খ/৯) = খ/৬

ক : খ : গ = (২খ/৯) : খ : (খ/৬)
= (২খ/৯) × ১৮ : (খ × ১৮) : (খ/৬) × ১৮
= ৪ : ১৮ : ৩

গ পায় = ১৭৫০ × (৩/২৫) = ২১০

প্রশ্ন- যদি ক : খ = ৭ : ৯ এবং খ : গ = ১৫ : ৭ হয়, তবে ক : গ =?

সমাধান-
ক : খ = ৭ : ৯
= (৭ × ১৫) : (৯ × ১৫)
= ১০৫ : ১৩৫

খ : গ = ১৫ : ৭
= (১৫ × ৯) : (৭ × ৯)
= ১৩৫ : ৬৩

ক : খ : গ = ১০৫ : ১৩৫ : ৬৩

∴ ক : গ = ১০৫ : ৬৩ = ৫ : ৩

প্রশ্ন- যদি 555/0.01 = x/0.001 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান- 
555/0.01 = x/0.001
⇒ 0.01x = 0.001 × 555
⇒ 0.01x = 0.555
⇒ x = 0.555 / 0.01
⇒ x = 55.5

• ৩/৭ = ০.৪৩
• ৭/১১ = ০.৬৪
• ১১/২৯ = ০.৩৮
• ১/৩ = ০.৩৩

প্রশ্ন- ৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রনে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ৭ হবে?

সমাধান-
এসিডের পরিমাণ = ৩০ × (৭/১০) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ৩০ × (৩/১০) = ৯ লিটার

মনে করি,
ক লিটার পানি মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
২১ / (৯ + ক) = ৩/৭
⇒ ২৭ + ৩ক = ১৪৭
⇒ ৩ক = ১২০
⇒ ক = ৪০

প্রশ্ন- জ্বালানি তেলের মূল্য ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায় বাস ভাড়াও একই হারে বৃদ্ধি পেল। নতুন ও পুরানো বাস ভাড়ার অনুপাত কত?

সমাধান- 
মনে করি,
পুরাতন ভাড়া = ১০০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে নতুন ভাড়া ১২০ টাকা

নতুন ভাড়া : পুরাতন ভাড়া = ১২০ : ১০০ = ৬ : ৫

১৬ : ২৫ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √১৬ : √২৫ = ৪ : ৫

নতুন সংখ্যা হবে = ১১২ × (৭/৮) = ৯৮

প্রশ্ন- যখন দুটি সংখ্যার সাথে ১ যোগ করা হয় তখন তাদের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, যখন সংখ্যা দুটি থেকে ৫ বিয়োগ করা হয় তখন অনুপাত ৭ : ১০ হয়। সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?

সমাধান-
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি = x এবং y

প্রশ্নমতে,
(x + 1) / (y + 1) = 3/4
⇒ 4x + 4 = 3y + 3
⇒ 4x - 3y = - 1............................(i)

এবং (x - 5) /(y - 5) = 7/10
⇒ 10x - 50 = 7y - 35
⇒ 10x - 7y = 15..........................(ii)

(i) × 5 - (ii) × 2 
20x - 15y - 20x + 14y = - 5 - 30
⇒ - y = - 35
⇒ y = 35

∴ 4x - 3  × 35 = -1
⇒ 4x - 105 = -1
⇒ 4x = 104
⇒ x = 26

সমষ্টি = 26 + 35 = 61

প্রশ্ন - একটি স্কুলে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত যথাক্রমে ৪ : ৫ । ১০০ জন ছাত্রী চলে গেলে তাদের অনুপাত হবে ৬ : ৭। স্কুলটিতে ছাত্রের সংখ্যা কত জন?

সমাধান- 
মনে করি,
ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা যথাক্রমে = ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
৪ক/(৫ক - ১০০) = ৬/৭
⇒ ৩০ক - ৬০০ = ২৮ক
⇒ ২ক = ৬০০
⇒ ক = ৩০০

ছাত্র সংখ্যা = ৪ × ৩০০ = ১২০০ জন 

প্রশ্ন- আবির ও আফিফের বেতনের সমষ্টি ১৮০০ টাকা। আবির তার বেতনের ৮০% এবং আফিফ তার বেতনের ৭০% ব্যয় করেন। যদি তাদের সঞ্চয়ের অনুপাত ৪ : ৩ হয়, তবে আবিরের বেতন কত?

সমাধান-
মনে করি, 
আবির ও আফিফের বেতন যথাক্রমে x এবং y টাকা

প্রশ্নমতে,
20% of x / 30% of y = 4/3
⇒ (x/5) / (3y/10) = 4/3
⇒ 2x/3y = 4/3
⇒ 6x = 12y
⇒ x/y = 12/6
⇒ x/y = 2/1
∴ x : y = 2 : 1

আবিরের বেতন = ১৮০০ × (২/৩) = ১২০০

(১/০.০০৪) ÷ (১/০.১)
= {(১ × ১০০০) / ৪} ÷ (১০/১)
= ২৫০ ÷ ১০
= ২৫

প্রশ্ন- একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। দুধের পরিমাণ পানি হতে ১২ লিটার বেশি হলে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান-
মনে করি,
দুধ ও পানির পরিমাণ যথাক্রমে ৫ক এবং ২ক

শর্তমতে,
৫ক - ২ক = ১২
⇒ ৩ক = ১২
⇒ ক = ৪

পানির পরিমাণ = ২ × ৪ = ৮ লিটার