Math Master

প্রশ্ন: ১২০ মি. দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৯৪ কি.মি. । ঐ ট্রেনটি ১৮ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
১ ঘণ্টা বা ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৯৪ কি.মি. বা ৯৪০০০ মিটার
∴ ১৮ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (৯৪০০০ × ১৮)/৩৬০০ = ৪৭০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেন + সেতুর দৈর্ঘ্য = ৪৭০
বা, ১২০ + সেতুর দৈর্ঘ্য = ৪৭০
∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = ৪৭০ - ১২০ = ৩৫০ মিটার।

প্রশ্ন: স্রোতের অনুকূলে একটি নৌকা ৩ ঘণ্টায় ৪৫ কি.মি. পথ যায়। যদি স্থির জলে ঐ নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ১১ কি.মি. হয়, তাহলে নদীর স্রোতের গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় নৌকার যায় ৪৫ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে ১ ঘণ্টায় নৌকার যায় = ৪৫/৩ = ১৫ কি.মি.

স্রোতের বেগ + নৌকার বেগ = ১৫ কি.মি.
                       নৌকার বেগ = ১১ কি.মি.
∴ স্রোতের বেগ                    = ৪ কি.মি.

প্রশ্ন: যদি একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে ৩৬ মিনিটে ৬ কি.মি. যায় এবং স্রোতের গতি ২ কি.মি./ঘণ্টা হয় তাহলে স্থির পানিতে নৌকার গতি কত? 

সমাধান: 
স্রোতের প্রতিকূলে, 
নৌকাটি ৩৬ মিনিটে যায় ৬ কি.মি.
নৌকাটি ১ মিনিটে যায় ৬/৩৬ কি.মি.
নৌকাটি ৬০ মিনিটে যায় (৬ × ৬০)/৩৬ কি.মি.
= ১০ কি.মি.

স্রোতের গতি ২ কি.মি./ঘণ্টা 
স্থির পানিতে নৌকার গতি = x  কি.মি./ঘণ্টা  

প্রশ্নমতে,
x  - ২ = ১০
বা, x  = ১০ + ২
∴ x = ১২

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ১২ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. গতিতে চলমান ১৭০ মি. লম্বা একটি ট্রেন ১৩০ মি. লম্বা একটি ব্রিজকে কত সময়ে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
মোট দৈর্ঘ্য = ১৭০ + ১৩০ = ৩০০ মি

৬০০০০ মি. যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ মি যায় ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ডে
৩০০ মি যায় (৩৬০০ × ৩০০)/৬০০০০ সেকেন্ডে
= ১৮ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি. বেগে চলে ৩৬০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লার্টফর্ম ১ মিনিটে অতিক্রম করল। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার।
৪৮ কিলোমিটার = ৪৮ × ১০০০ মিটার = ৪৮০০০ মিটার

১ ঘণ্টা বা (৬০ × ৬০) সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪৮০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪৮০০০/(৬০ × ৬০) মিটার
∴ ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৪৮০০০ × ৬০)/(৬০ × ৬০) = ৮০০ মিটার

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৮০০ - ৩৬০) মিটার = ৪৪০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন রেললাইনের পাশ দিয়ে ট্রেনটির একই অভিমুখে যথাক্রমে 5 মি./সে. এবং 10 মি./সে. বেগে চলমান দুই ব্যক্তিকে যথাক্রমে 5 সেকেন্ডে এবং 6 সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
ট্রেনটির গতিবেগ x মি./সে.
দুই ব্যক্তির সাপেক্ষে ট্রেনটির আপেক্ষিক গতিবেগ যথাক্রমে (x - 5) মি./সে. এবং (x - 10) মি./সে.

প্রশ্নমতে,
5(x - 5) = 6(x - 10)
বা, 5x - 25 = 6x - 60
বা, 6x - 5x = 60 - 25
∴ x = 35

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = 35 মি./সে. = (35 × 3600)/1000 কি.মি./ঘণ্টা
= 126 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৬০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি. বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৩৬ কি.মি. = (৩৬ × ১০০০) মিটার = ৩৬০০০ মিটার

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ড
১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ড
∴ ৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৬০)/৩৬০০০ সেকেন্ড
= ৬ সেকেন্ড

প্রশ্ন: আরিচা থেকে ঢাকার দূরত্ব ২০০ মাইল। একটি গাড়ি ঘণ্টায় ২৫ মাইল বেগে ঢাকা থেকে আরিচার দিকে এবং আর একটি গাড়ি ঘণ্টায় ১৫ মাইল বেগে আরিচা থেকে ঢাকার দিকে একই সময়ে যাত্রা শুরু করলো। কতক্ষণ সময় পর গাড়ি দুটি মুখোমুখি হবে?

সমাধান:
আপেক্ষিক বেগ = (২৫ + ১৫) = ৪০ মাইল/ঘণ্টা
অতিক্রান্ত দূরত্ব = ২০০ মাইল

আমরা জানি,
সময় = অতিক্রান্ত দূরত্ব/আপেক্ষিক বেগ
= ২০০/৪০
= ৫ ঘণ্টা

প্রশ্ন: সৈয়দপুর ষ্টেশন থেকে একটি ট্রেন সকাল ৮ টার সময় ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. গতিতে ঢাকার উদ্দেশ্যে রওনা দিল। সকাল ৯ টায় আরেকটি ট্রেন একই ষ্টেশন থেকে ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. গতিতে ঢাকার উদ্দেশ্যে রওনা দিল। ট্রেন দুটি সৈয়দপুর থেকে কত কি.মি. দূরে মিলিত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেন দুটি 'ক' কি.মি. দূরত্বে মিলিত হয়।

১ম ট্রেন ৩০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
১ কি.মি. যায় ১/৩০ ঘণ্টায়
'ক' কি.মি. যায় ক/৩০ ঘণ্টায়

আবার,
২য় ট্রেন ৪০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
১ কি.মি. যায় ১/৪০ ঘণ্টায়
ক কি.মি. যায় ক/৪০ ঘণ্টায়

প্রশ্নমতে,
ক/৩০ - ক/৪০ = ১
বা, (৪ক - ৩ক)/১২০ = ১
বা, ক/১২০ = ১
∴ ক = ১২০
১২০ কি.মি. দূরে ট্রেন দুইটি পরস্পর মিলিত হবে।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ কি.মি. ও ৮ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?  

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলের বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ= ১২ + ৮ = ২০ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলের বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ১২ - ৮ = ৪ কি.মি./ঘণ্টা  

এখন, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আস্তে সময় লাগে = ৬০/৪ = ১৫ ঘণ্টা  

∴ মোট সময় = (৩ + ১৫) = ১৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘাটে বাঁধা একটি নৌকা জোয়ারের টানে নোঙর ছিঁড়ে দুই ঘণ্টায় ৭ কি.মি. দূরে চলে গেল। পরে মাঝি দাঁড় টেনে নৌকাটিকে ৪ ঘণ্টায় ঘাটে ফিরিয়ে আনল। জোয়ারহীন অবস্থায় দাঁড়ের টানে নৌকার গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
জোয়ারের টানে নৌকার গতিবেগ = ৭/২ কি.মি./ঘণ্টা = ৩.৫ কি.মি./ঘণ্টা
মাঝির দাঁড় টানার গতিবেগ = ৭/৪ কি.মি./ঘণ্টা = ১.৭৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ জোয়ারহীন অবস্থায় দাঁড়ের টানে নৌকার গতিবেগ = (৩.৫ + ১.৭৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৫.২৫ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি নৌকা দড়ি ছেঁড়ার ৫ মিনিট পর সাঁতরে মাঝি আরও ৫ মিনিট পর ৪০০ মিটার দূরে গিয়ে নৌকায় উঠলো। তারপর স্রোতের অনুকূলে দাঁড় বেয়ে ৫ মিনিটে আরও ৪০০ মিটার দূরত্ব গেল। নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের কারণে নৌকা গেল = (৫ + ৫) মিনিট = ১০ মিনিট
∴ স্রোতের বেগ = ৪০০ মি./১০ মিনিট = ৪০ মি./মিনিট
অনুকূলে বেগ = ৪০০মি./৫ মিনিট = ৮০ মি./মিনিট

আমরা জানি,
নৌকার বেগ = অনুকূল বেগ - প্রতিকূল বেগ
= (৮০ - ৪০) মি/মিনিট
= ৪০ মি/মিনিট
= (৪০ × ৬০)/১০০০ কি.মি/ঘণ্টা
= ২.৪ কি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ডে ১৬২ মিটার লম্বা একটি স্টেশন অতিক্রম করে এবং ১৫ সেকেন্ডে ১২০ মিটার লম্বা আরেকটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ট্রেনটি ১৮ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ১৬২ মিটার + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
ট্রেনটি ১৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ১২০ মিটার + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
∴ ট্রেনটি ৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৪২ মিটার
∴ ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৪২/৩ মিটার
∴ ট্রেনটি ১৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (৪২ × ১৫)/৩ মিটার
= ২১০ মিটার

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (২১০ - ১২০) মিটার
= ৯০ মিটার