নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: sinA = cosA হলে A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = cosA
⇒ sinA/cosA = 1
⇒ tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
∴ A = 45°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ০.০০৫ হেক্টর হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.০০৫ হেক্টর = ৫০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a² বর্গমিটার

এখানে,
a² = ৫০ বর্গমিটার

কর্ণ = √(a² + a²)
= √(৫০ + ৫০)
= √১০০
= ১০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 24 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল = 168 বর্গমিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
⇒ 168  = 24 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 168/24
∴ উচ্চতা = 7

∴ সামান্তরিকটির উচ্চতা 7 মিটার

প্রশ্ন: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)² + (√2)²
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰

ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ 360⁰

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ 360⁰
1 টি কোণের পরিমাণ 360⁰/x

প্রশ্নমতে,
360⁰/x = 45⁰
⇒ x = 360⁰/45⁰
∴ x = 8

প্রশ্ন: একটি সুষম সপ্তভুজের পরিসীমা ৫৬ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ৭ টি

আমরা জানি,
কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n টি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে
পরিসীমা na একক

প্রশ্নমতে,
na = ৫৬
বা, ৭a = ৫৬ 
∴ a = ৮

∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: sinA cosecA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
sinA cosecA + 1
= sinA (1/sinA) + 1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর = ৮ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = (৩ × বাহুর দৈর্ঘ্য) একক।
= (৩ × ৮) মিটার
= ২৪ মিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর = a একক

প্রশ্নমতে,
4a = 24
∴ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার।

প্রশ্ন: cosecA + cotA = 4 হলে, cosecA - cotA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA + cotA = 4

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (4)(cosecA - cotA) = 1
∴ cosecA - cotA = 1/4

প্রশ্ন: sec²θ + cosec²θ = ?

সমাধান:
sec²θ + cosec²θ
= (1/cos²θ) + (1/sin²θ)
= (sin²θ + cos²θ)/(cos²θ. sin²θ)
= 1/(cos²θ. sin²θ)
= (1/cos²θ). (1/sin²θ)
= sec²θ. cosec²θ

প্রশ্ন: একটি সুষম দশভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
দশভুজের বাহুর সংখ্যা = 10 টি

আমরা জানি,
যেকোনো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

∴ দশভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (10 - 2) × 180⁰
= 8 × 180⁰
= 1440⁰/90⁰ সমকোণ
= 16 সমকোণ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গসে.মি. হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গসে.মি.

সুতরাং,
(√3/4) × a² = 9√3
⇒ a² = 9 × 4
⇒ a² = 36
∴ a = 6

পরিসীমা = 3a সে.মি. = (3 × 6) সে.মি. = 18 সে.মি.

প্রশ্ন: tanA.cosecA এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tanA.cosecA
= (sinA/cosA)(1/sinA)
= 1/cosA
= secA

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৫৯৪ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২১ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = ২১ মিটার
সিলিন্ডারের আয়তন v = ৫৯৪ ঘন মিটার

ধরি,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে,
πr²h = ৫৯৪
⇒ (২২/৭) × r² × ২১ = ৫৯৪
⇒ ৬৬ × r² = ৫৯৪
⇒ r² = ৫৯৪/৬৬
⇒ r² = ৯
∴ r = ৩

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ৩ মিটার
∴ ব্যাস = (৩ × ৩) = ৬ মিটার

প্রশ্ন: sinθ = 1/2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

এখন 
cot30° = √3

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার। প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ২ মিটার বেশি হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ২) মিটার

প্রশ্নমতে,
২(২x + ২) = ৬৪
⇒ ২x + ২ = ৩২
⇒ ২x = ৩০
∴ x = ১৫

∴ দৈর্ঘ্য = (১৫ + ২) মিটার = ১৭ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতির বাগানের বাহিরে চারপাশে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। বাগানটির ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১২১ বর্গমিটার
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১১ মিটার।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ১১ + ১ + ১ মিটার = ১৫ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৫^২ বর্গমিটার = ২২৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২২৫ - ১২১) বর্গমিটার
= ১০৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ  + cosθ =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন,
sinθ  + cosθ
= sinθ + cosθ
= sin45 + cos 45° 
= (1/√2) + (1/√2)
= (1 + 1)/√2
= 2/√2
= √2

প্রশ্ন: যদি cosec²θ + cot²θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ = 1 + cot²θ

দেওয়া আছে,,
cosec²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 1 + cot²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 2 cot²θ = (5/3) -1
⇒ 2cot²θ = 2/3
⇒ cot²θ = 2/6
⇒ cot²θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

প্রশ্ন: যদি ৮ মিটার দীর্ঘ এবং ৬ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৬% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
কার্পেটের প্রস্থ = ৬ মিটার

∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৬ বর্গমিটার
= ৪৮ বর্গমিটার

৬% মেঝের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গমিটার
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (৪৮ × ১০০)/৬ বর্গমিটার
= ৮০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১২ মিটার এবং ভূমি ৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১২ মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ৫ মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (উচ্চতা)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (১২)^২ + (৫)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৬৯
∴ অতিভুজ = ১৩

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১৩ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার, পার্কের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = 616 × (7/22)
⇒ r² = (28 × 7)
⇒ r = √(7 × 7 × 2 × 2)
⇒ r = 7 × 2
∴ r = 14

∴  বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস = 2 × 14 = 28 মিটার

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(θ + 20°) = 1/2
⇒ cos(θ + 20°) = cos60°
⇒ θ + 20° = 60°
⇒ θ = 60° - 20°
∴ θ = 40°

∴ θ এর মান 40° হবে।

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১৫

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১৫)
= ১৮০° - ২৪°
= ১৫৬°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের বাহিরে চারপাশে রাস্তার প্রস্থ 2.5 মিটার এবং রাস্তার ক্ষেত্রফল 225 বর্গ মিটার হয়। প্রতিমিটার 80 টাকা হারে মাঠের চারপাশে বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রতিটি বাহু = x মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রতিটি বাহু = (x + 2.5 + 2.5) = (x + 5) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + 5)² - x² = 225
⇒ x² + 10x + 25 - x² = 225
⇒ 10x + 25 = 225
⇒ 10x = 225 - 25
⇒ 10x = 200
⇒ x = 200/10
∴ x = 20

∴ বর্গাকার মাঠের প্রতিটি বাহু = 20 মিটার
পরিধি = 4 × 20= 80 মিটার
∴ বেড়া দিতে মোট খরচ = 80 × 80 = 6400 টাকা।

প্রশ্ন: যদি A = 30° হলে cotA√(1 - cos²A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = 30°

প্রদত্ত রাশি = cotA√(1 - cos²A)
= cotA√(sin²A)
= cotA. sinA
= (cosA/sinA). sinA
= cosA
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: 2cosθ = 1 হলে, sin²θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ = cos60°
∴ θ = 60°

এখন
sin²θ
=(sin60°)²
=(√3/2)²
= 3/4

প্রশ্ন: একটি মই 17 মিটার লম্বা। একটি দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে মইয়ের গোড়াটি রাখলে মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় পৌছাবে?

সমাধান:

এখানে,
মই AC = 17 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব BC = 8 মিটার

∴ দেয়ালের উচ্চতা AB = √(17² - 8²)
= √(289 - 64)
= √225
= 15 মিটার

প্রশ্ন: ১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৫ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৫(১৫ - ৩)}/২
= (১৫ × ১২)/২
= ৯০

সঠিক উত্তর: 30°
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
------------------------- 

প্রশ্ন: 21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:

খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 21 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 21√3 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 21/(21√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan30°
∴ θ = 30°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 30°

প্রশ্ন: tan(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
tan(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
tan(π + x) = tan(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= tanx

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/(2π)
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
∴ r = 7

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
= π × 7² বর্গমিটার
= 49π বর্গমিটার

প্রশ্ন: sin²33° + sin²57° = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = sin²33° + sin²57°
= sin²33° + sin²(90° - 33°)
= sin²23° + cos²33°
= 1

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 18 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী: তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(3, 4, 5) পিথাগোরাসের ত্রয়ী,
(2)² - 1 = 3
2 × 2 = 4
(2)² + 1 = 5

এখানে,
একটি ত্রয়ী 18

ধরি,
2m = 18
∴ m = 9

∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 9² - 1 = 81 - 1 = 80
m² + 1 = 9² + 1 = 81 + 1 = 82

প্রশ্ন: sin(- 390°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 390°)
= - sin390° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(4 × 90° + 30°)
= - (sin30°)
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: 6 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি

আমরা জানি
বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
 = √2 × 6
= 6√2 

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 6√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (6√2)² বর্গসেমি
= 72 বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 8 : 10 : 12 : 12 : 14 : 16 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 = 72

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°


∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 720° × (8/72)
= 80°

প্রশ্ন: A = 60° হলে, (secA - 1)/(1 + sec²A) =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = 60°

প্রদত্ত রাশি = (secA - 1)/(1 + sec²A)
= (sec60° - 1)/(1 + sec²60°)
= (2 - 1)/{1 + (2)²}
= 1/ (1 + 4)
= 1/5

প্রশ্ন: cos75°. cos15° এর মান কত?

সমাধান:
cos75°. cos15°
= cos(90° - 15°).cos15°
= sin15°.cos15°
= (1/2).2sin15°.cos15°
= (1/2). sin(2 × 15°)
= (1/2).sin30°
= (1/2) × (1/2)
= 1/4