৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: যদি xyz < 0 এবং z < 0 হয় , তাহলে কোন শর্ত টি সঠিক হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, xyz < 0 
এর থেকে বোঝা যায় যে x, y ও z এর গুনফল xyz ঋণাত্মক হবে।
আবার,
যেহেতু z < 0 তাই  xy ও z এর গুনফল xyz ঋণাত্মক হওয়ার জন্য xy কে অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। 
কারণ, ( ধনাত্মক × ঋণাত্মক ) = ঋণাত্মক  

সুতরাং সঠিক শর্ত টি হবে xy > 0

প্রশ্ন: x - (1/x) = 3 হলে x³ - (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 3

x³ - (1/x³)
= {x - (1/x)}³ + 3(x)(1/x){x - (1/x)}
= (3)³ + (3 × 3)
= 27 + 9 
= 36 

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কী কী? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y +1)
= x² - (y - 1)²
=(x - y + 1)(x + y - 1)

প্রশ্ন: x + 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x + 3 > 2x - 1
⇒ 2x - 1 < x+ 3
⇒ 2x - x < 3 + 1
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (- ∝, 4)

প্রশ্ন: (x + y)² = 144 এবং xy = 27  হলে x - y এর মান কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + y)² = 144 এবং
xy = 27

এখন,
(x + y)² = 144
বা, (x - y)² + 4xy = 144
বা, (x - y)² = 144 - 4xy
বা, (x - y)² = 144 - (4 × 27)
বা, (x - y)² = 144 - 108
বা,(x - y)² = 36
বা, (x - y) = 6

প্রশ্ন: x + (1/x) = √5 হলে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³- 3x(1/x) {x + (1/x)}
= (√5)³ - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: যদি a > b > c হয় তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a > b > c

তাহলে, a > b এবং a > c

এখন, দুইটি অসমতা কে যোগ করে পাই,
a + a > b + c
বা, 2a > b + c

প্রশ্ন: (x + y)³ + (x - y)³ এর মান কত হবে? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ,
(x + y)³ + (x - y)³
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + x³ - 3x²y + 3xy² - y³
= 2x³ + 6xy²

প্রশ্ন: a⁴ - 51a² + 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a⁴ - 51a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 51a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 51
⇒ a² + (1/a²) = 51
⇒ {a - (1/a)}² + 2(a)(1/a) = 51
⇒ {a - (1/a)}² = 51 - 2 = 49
⇒ {a - (1/a)}² = 7²
⇒ a - (1/a) = ± 7 [ বর্গমূল করে ]

প্রশ্ন: a² + b² = 29 এবং ab = 10 হলে a - b=? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a - b)² = a²- 2ab + b² 
বা, (a - b)² = a² + b² - 2ab
বা, (a - b)² = 29 - (2 × 10) 
বা, (a - b)² = 9
বা, √(a - b)²= √9
বা, (a - b) =  3

প্রশ্ন: - 8 < x < - 2 অসমতা কে পরমমান দ্বারা প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
- 8 < x < - 2
এখানে 
- 8 ও - 2 এর গড় ={ - 8 + (- 2)} /2 =( - 8 - 2 ) /2 = -( 10/2 ) = -5

অসমতার প্রতি পাশে গড় এর ধনাত্মক মান অর্থাৎ +5 যোগ করি,
- 8 + 5 < x + 5 < - 2 + 5
- 3 < x + 5 < 3

এখন, পরমমানের শর্ত অনুযায়ী অসমতার দুই পাশের মান একটি ধনাত্মক ও অন্যটি ঋণাত্মক হবে।
সুতরাং 
- 3 < x + 5 < 3  এর পরমমান হবে, 
= |x + 5| < 3

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা টি হলো ,
∣x + 2∣ > 5 

এখন,
x + 2  ধনাত্মক হলে,
⇒ x + 2 > 5
⇒ x > 5 - 2 
⇒ x > 3

আবার, x + 2 ঋণাত্মক হলে,
-(x + 2) > 5
⇒ (x +2) < - 5
⇒ x < - 5 - 2 
⇒ x < - 7

x < - 7 এর অর্থ হলো x এর মান − ∞ থেকে − 7 পর্যন্ত। সুতরাং x < - 7 এর জন্য সমাধান সেট = (- ∞,- 7) 
x > 3 এর অর্থ হলো x এর মান 3 থেকে ∞ পর্যন্ত। সুতরাং x > 3 এর জন্য সমাধান সেট = (3, ∞)​

সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট=
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)​

প্রশ্ন: a² + b² = 5 এবং a + b = 3 হলে a - b = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 5 এবং a + b = 3
আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, (a - b)² = 2(a² + b²) - (a + b)² 
বা,(a - b)² = (2 × 5) - ( 3)²
বা, (a - b)² = 10 - 9
বা, (a - b)² = 1
বা, √(a - b)²= √1
বা,  a - b =  1

প্রশ্ন: যদি 6 - 4x ≤ 14 হয় তাহলে x এর মানের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
6 - 4x ≤ 14
⇒ 6 - 4x - 6 ≤ 14 - 6
⇒ - 4x ≤ 8 
এখন,
উভয়পক্ষে -1 দ্বারা গুন করি,
⇒ 4x ≥ - 8   [ অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ] 
⇒ x ≥ - (8/4) 
⇒ x ≥ - 2