Math Master

প্রশ্ন: যদি log_x(1/16)⁡=−2 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
log_x 1/16 = 2
⇒ x ^{- 2} = 1/16
⇒ 1/x² = 1/16
⇒ x² = 16
⇒ x = ± 4

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হওয়ায়, x = 4

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8 
= 12 + 88 
= 100

প্রশ্ন: 2^{log₂3 + log₂5} এর মান কত?

সমধান:

প্রশ্ন:  (32)^2/5 + (243)^1/5 = 3k হলে, k এর মান কত? 

সমাধান:
32^(2/5) = (2⁵)^2/5 = 2² = 4,
243^(1/5) = (3⁵)^1/5 = 3

∴ (32)^2/5 + (243)^1/5 = 3k
 ⇒ 4 + 3 = 3k
⇒ 7 = 3k
⇒ 3k = 7
⇒ k = 7/3

প্রশ্ন: 2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

সমাধান:
ধারাটি হলো: 2, 6, 10, 14, …
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
⇒ 102 = 2 + (n - 1) × 4
⇒ 102 - 2 = 4(n - 1)
⇒ 100 = 4n - 4
⇒ 4n = 104
⇒ n = 104/4
∴ n = 26

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2} = (7)^{3x + 8} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2} = (7)^{3x + 8}
⇒ 7^{(2x + 4)} = 7^{(3x + 8)}
⇒ 2x + 4 = 3x + 8
⇒ 2x - 3x = 8 - 4
⇒ - x = 4
⇒ x = - 4

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4^{(x + 1)} = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^{(x + 1)} = 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ 2(x + 1) = 5
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া আছে 
সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36

এখন 
5ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
13তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 12d

যোগফল = a + 4d + a + 12d
= 2a + 16d = 36

প্রথম 17টি পদের যোগফল,
S₁₇ = (17/2) {2a + (17 - 1)d}
=(17/2)(2a + 16d)
= (17/2) × 36
= 17 × 18
= 306

প্রশ্ন: log₅(1/25) এর মান কত?

সমাধান: 
log₅(1/25)
= log5(1/5²)
= log₅(5^-2)
= - 2

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির 6তম পদ কত?

সমধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3
= 2

আমরা জানি 
nতম পদ = ar^{n - 1}
6তম পদ = a × r ^{6 - 1}
= 3 × 2⁵
= 96

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 12 এবং ষষ্ঠ পদ 96 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = aq^{(n - 1)}
তৃতীয় পদ = aq² = 12......(1)
ষষ্ঠ পদ = aq⁵ = 96...........(2)

(2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
aq⁵/aq² = 96/12
⇒ q³ = 8
⇒ q³ = 2³
⇒ q = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₅(125²)^1/3
= log₅(125)^2/3
= (2/3)log₅125
= (2/3)log₅5³
= (2/3) × 3 
= 2

প্রশ্ন: (√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে? 

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = √3/9
সাধারণ অনুপাত, r = (√3/3) / (√3/9) = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
⇒ ar^{n - 1} = 243√3
⇒ √3/9 × 3^{n - 1} = 243√3
⇒ 3^{n - 1} = 243 × 9
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n -1 = 7
n = 8

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারাতে 4তম পদটি প্রথম পদের দ্বিগুণের চেয়ে 3 বেশি, এবং প্রথম 12টি পদ-এর যোগফল 474। তাহলে 20 তম পদটি কত?
সমধান:
প্রথম পদ a, 
সাধারণ অন্তর =  d

তাহলে,
a₄ = a + 3d
3d = a + 3
a = 3d - 3

আবার,
S₁₂ = 474
⇒ (12/2)(2a + 11d) = 474
⇒ 6(2a + 11d) = 474
⇒ 2a + 11d = 79
⇒ 2(3d - 3) + 11d = 79 [a = 3d - 3]
⇒ 6d - 6 + 11d = 79
⇒ 17d = 85
⇒ d = 5

তাহলে,
a = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
= 12

20 তম পদ, a20 = a + 19d
= 12 + 19 × 5
= 107

প্রশ্ন: যদি log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9) হয়, তবে a = ?

সমাধান:
log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9)
⇒ log(a/b × b) = log(9)
⇒ log(a) = log(9)
⇒ a = 9

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ - 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

প্রশ্ন যদি log₂(log⁡₃x) = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₂log₃x = 2
⇒ log₃x = 2²  [log₂X = 2 হলে X = 2²]
⇒ log₃x = 4
⇒ x = 3⁴
∴ x = 81

প্রশ্ন: (3/2) + 3 + 6 + ............... ধারাটির কোন পদটি 192 হবে?

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3/2
সাধারণ অনুপাত, r = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 3/2 × 2^{n - 1} = 192
⇒ 2^{n - 1} = (192 × 2) / 3
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
n = 8

সুতরাং 8th তম পদ 192