গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল ৫১। তাদের পার্থক্যের এক চতুর্থাংশ সমান ১৩ । ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
এবং ছোট সংখ্যাটি = খ

১ম শর্তমতে,
(ক/২) + (খ/২) = ৫১
⇒ (ক + খ)/২ = ৫১
∴ ক + খ = ১০২ ......... (১)

২য় শর্তমতে,
(ক - খ)/৪ = ১৩ 
⇒ ক - খ  = ৫২ ....... (২)

(১) নং +  (২)নং ⇒
ক + খ + ক - খ= ১০২ + ৫২ 
⇒ ২ক = ১৫৪
⇒ ক = ৭৭

ক এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
খ = ১০২ - ৭৭ = ২৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ২৫

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৮০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ৮৫% পরীক্ষার্থী গণিতে এবং ৭৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করলো। যদি ৫০ জন ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাস করে = (৮০ - ৭৫)% = ৫%
শুধু গণিতে পাস করে = (৮৫ - ৭৫)% = ১০%

এক বা উভয় বিষয়ে পাস করে = (৫ + ১০ + ৭৫)% = ৯০%

মনেকরি 
মোট পরীক্ষর্থী = ক জন 

প্রশ্নমতে,
ক - ক এর ৯০%  = ৫০
⇒ ক - (৯০ক/১০০) = ৫০
⇒ ১০ক /১০০ = ৫০ 
⇒ ক/১০ = ৫০ 
∴ ক = ৫০০

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তাসের সংখ্যা = 52 টি
একটি তাসের প্যাকেটে টেক্কার সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি  টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (4/52)
= 4/52
= 1/13

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/13)
= (13 - 1)/13
= 12/13 

প্রশ্ন: ন্যূনতম কতটি আপেলকে ১২, ২৪ ও ৩০ জন বালকের মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
১২, ২৪ ও ৩০ এর ল.সা.গুই হবে নির্ণেয় আপেলের সংখ্যা।
১২, ২৪ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ১২০

∴ ন্যূনতম ১২০ টি আপেলকে ১২, ২৪ ও ৩০ জন বালকের মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 + ...... - 23 = কত?

সমাধান:
১ম পদ = 29,
শেষ পদ = -23,
সাধারণ অন্তর = 25 - 29 = -4
∴পদ সংখ্যা = (-23-29)/-4 + 1
= -52/-4 + 1
= 14

∴ সমষ্টি = {(- 23 + 29)/2} × 14
= 42

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ৬৫ টাকায় একটি খাতা বিক্রয় করে। এতে তার ক্রয়মূল্যের উপর ৩০% লাভ হয়। যদি সে ক্রয়মূল্যের উপর ২০% লাভ করতে চায় তাহলে বিক্রয়মূল্য কত টাকা হবে?

সমাধান:
৩০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৩০) = ১৩০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৩০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬৫)/১৩০ টাকা
= ৫০ টাকা

ক্রয়মূল্যের উপর ২০% লাভ অর্থাৎ ৫০ টাকার ২০% = ১০ টাকা
অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য হবে (৫০ + ১০) = ৬০ টাকা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ এক জাতীয় রাশি এবং ক : খ = 2 : 5, খ : গ =3 : 7 হলে ক : খ : গ = কত?

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৭ টাকা হার সুদে ২৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদাসল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (২৫০০ × ৭ × ৩)/১০০
=  ৫২৫ টাকা

∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ৫২৫ + ২৫০০
= ৩০২৫ টাকা

প্রশ্ন: 5 + 55 + 555 + .... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে 
55/5 = 11
555/55 = 10.09
সুতরাং এটি গুণোত্তর ধারা নয়, তাই প্রদত্ত ধারার কোন অসীমতক সমষ্টি নেই।

কোনো গুণোত্তর ধারার অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টিকে অসীমতক সমষ্টি বলে। মূলত, যেসব গুণোত্তর ধারা কনভার্জেন্ট সিরিজ এর মধ্যে পড়ে তাদেরই অসীমতক সমষ্টি থাকে।
যদি নিম্নোক্ত শর্তটি কোনো গুণোত্তর ধারা মেনে চলে তবে তার অসীমতক সমষ্টি থাকবে,
|r| < 1 অথবা, -1 < r < 1
এবং অসীমতক সমষ্টিটি হবে,
S_∞ =  a/(1 - r)

কনভার্জেন্ট সিরিজ:
যেসব অসীম ধারার সকল পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নির্দেশ করে,তাকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে।

প্রশ্ন: A এবং B দু'টি স্বাধীন ঘটনা হলে, নিচের কোনটি P(A ∩ B) এর সমতূল্য?

সমাধান:
A এবং B দু'টি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর ৪, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখাটির যোগফল ১১০। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = x + 4
তাহলে,
সংখ্যাটি = 10(x + 4) + x
= 10x + 40 + x
= 11x + 40
এবং স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 10x + x + 4 = 11x + 4 

প্রশ্নমতে,
11x + 40 + 11x + 4 = 110
⇒ 22x = 110 - 44
⇒ 22x = 66
∴ x = 3

∴ সংখ্যাটি = 11 × 3 + 40 = 73
∴ স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 11 × 3 + 4 = 37
[সংখ্যাটি 37 বা 73 যেকোনোটি হতে পারে]

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই অন্তত দুইটি ভাষার একটি বলতে পারে। বাংলা কতজন বলতে পারে?

প্রশ্ন: একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৩০ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৫ × ৬ = ৩০

৩০ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৫ = ৬ বার
৩০ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৬ = ৫ বার

∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে = ৩০ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ৩০ বার বেশি ঘুরে = ৩০ × ৩০ মিটারে
= ৯০০ মিটারে

∴  গাড়িটি ৯০০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৩০ বার বেশি ঘুরবে।

প্রশ্ন: দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৬ : ১১। দ্বিতীয়টির মূল্য ১৪৩ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত?

সমাধান:
দ্বিতীয়টির মূল্য অনুপাতের = ১৪৩/১১ = ১৩ গুণ।
তাহলে, প্রথমটির মূল্য হবে = ৬ × ১৩ = ৭৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য প্রথমে ২০% বৃদ্ধি পায় এবং পরে ১৫% হ্রাস পায়। পণ্যটির মূল্যের সামগ্রিক পরিবর্তন-

সমাধান:
ধরি, পণ্যটির মূল্য = ১০০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে, পণ্যটির মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

১৫% হ্রাসে,
১০০ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা
∴ ১ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ৮৫/১০০ টাকা
∴ ১২০ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = (৮৫/১০০) × ১২০ টাকা
= ১০২ টাকা

∴ বৃদ্ধি পেয়েছে = ১০২ - ১০০ = ২%

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে ৭ টি আম, ২২টি আপেল এবং ১৫ টি কমলা আছে। ঝুড়ি থেকে দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি আম অথবা কমলা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়িতে মোট ফল = ৭ + ২২ + ১৫ = ৪৪

 দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি আম হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/৪৪
 দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = ১৫/৪৪

 দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি আম অথবা কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/৪৪) + (১৫/৪৪)
= (৭ + ১৫)/৪৪
= ২২/৪৪
= ১/২

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ১ বছরের সুদ, সুদ-আসলের ১/৫ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সুদাসল = ১০০ টাকা
তাহলে, সুদ = ১০০ × (১/৫) = ২০ টাকা
এবং আসল p = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
সময় = ১ বছর

সুদের হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (২০ × ১০০)/(৮০ × ১)
= ২৫%

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, দ্বিতীয় পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত = r 
এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
⇒ ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 × r³ = 135
⇒ r³ =135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3 

∴ দ্বিতীয় পদ = ar^{2 - 1}
= 5 × (3)¹
= 15

প্রশ্ন: রকিব সাহেবের মাসিক বেতন ২৪০০০ টাকা। তাঁর বার্ষিক মোট আয়ের প্রথম আড়াই লক্ষ টাকার আয়কর ০ টাকা এবং পরবর্তী টাকার উপর আয়করের হার ১০ টাকা হলে, রকিব সাহেব ২০২৪ সালে কত টাকা আয়কর দিবেন?

সমাধান:
রকিব সাহেবের ১ মাসের বেতন = ২৪০০০ টাকা
রকিব সাহেবের ১ বছরের (২০২৪ সালের) আয় = ২৪০০০ × ১২ = ২৮৮০০০ টাকা

রকিব সাহেবের করযোগ্য আয় = ২৮৮০০০ - ২৫০০০০ = ৩৮০০০ টাকা

∴ রকিব সাহেব ২০২৪ সালে আয়কর দিবেন = ৩৮০০০ × (১০/১০০) টাকা
= ৩৮০০ টাকা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 <x < 8} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}, হলে A ∩ B = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ৫৫ ও ল.সা.গু ৬৬০ একটি সংখ্যা ১৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:  
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু
⇒ একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৬৬০ × ৫৫
∴ অপর সংখ্যাটি = (৬৬০ × ৫৫)/১৬৫
= ২২০

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের গড় কত? 

সমাধান: 
১০ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৭ যাদের সেগুলো হলো ১৭, ৩৭, ৪৭ এবং ৬৭
এদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৬৮
এদের গড় = ১৬৮/৪ = ৪২

প্রশ্ন: খলিল ৬০ টাকায় একটি খেলনা বিক্রয় করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে খেলনাটি ১৪৭ টাকায় বিক্রয় করতো তাহলে তাঁর পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হতো। খেলনাটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
খেলনাটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা
৬০ টাকায় বিক্রয়ে ক্ষতি = ক - ৬০ টাকা
এবং ১৪৭ টাকায় বিক্রয়ে লাভ = ১৪৭ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২(ক - ৬০) = ১৪৭ - ক
⇒ ২ক - ১২০ = ১৪৭ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৪৭ + ১২০
⇒ ৩ক = ২৬৭
∴ ক = ৮৯

অতএব, খেলনাটির ক্রয়মূল্য ৮৯ টাকা।