শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: a⁴ + 2a² + 1 - 5a² = 0 হলে, a + (1/a) = কত?

সমাধান:
a⁴ + 2a² + 1 - 5a² = 0 
a⁴ + 2a² + 1 = 5a² 
⇒ (a²)² + 2 ⋅ a² ⋅ 1 + 1 = 5a² 
⇒ (a² + 1)² = 5a²
⇒ a² + 1 = √5 ⋅ a
⇒ (a²/a) + (1/a) = (√5 ⋅ a)/a
∴ a + (1/a) = √5

প্রশ্ন: cosA = 2/√5 হলে, tanA = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 2/√5

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
লম্ব^২ = অতিভুজ^২ - ভুমি^২
⇒ লম্ব^২ = (√5)² - 2²
⇒ লম্ব^২ = 5 - 4
⇒ লম্ব^২ = 1
∴ লম্ব = 1

আবার আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি = 1/2

প্রশ্ন: k টাকার k% সরল সুদে 5 বছরের সুদ k টাকা হলে k = কত?

সমাধান:
এখানে, 
আসল, P = k টাকা
সুদ, I = k টাকা
সময়, n = 5 বছর
সুদের হার, r = k%

আমরা জানি,
I =  Pnr
⇒ k = k × 5 × k%
⇒ k = k × 5 × (k/100)
⇒ 1 = 1 × 5 × (k/100)
⇒ 1 = k/20
∴ k = 20

প্রশ্ন: 3a² - 2a - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
3a² - 2a - 8
= 3a² - 6a + 4a - 8
= 3a(a - 2) + 4(a - 2)
= (a - 2)(3a + 4)

প্রশ্ন: ∠A কোন প্রকারের কোণ, যখন ১৮০° < A < ৩৬০°?

সমাধান:
১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠A একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪০ শতাংশ ও ১০ শতাংশের পার্থক্য ২.৭?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
৪০% - ১০% = ২.৭
⇒ ৩০% = ২.৭
∴ ১% = ২.৭/৩০
∴ ১০০% =  (২.৭ × ১০০)/৩০
= ২৭০/৩০
= ৯

অতএব, ৯ এর ৪০ শতাংশ ও ১০ শতাংশের পার্থক্য ২.৭।

প্রশ্ন: 2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 8 ......... (1)
3x - 2y = 5 ........ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং ⇒
4x + 2y + 3x - 2y = 16 + 5
⇒ 7x = 21
∴ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 8 - (3 × 2)
∴ y = 2

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে বরিশালের দূরত্ব ১৮৫ কিলোমিটার। ঢাকা থেকে প্রথম ৮৫ কিলোমিটার যেতে একটি বাসের ২ ঘণ্টা লাগে। পরবর্তী ১০০ কিলোমিটার রাস্তা কত সময়ে গেলে সম্পূর্ণ যাত্রায় বাসটির গড় গতিবেগ ৫০ কিলোমিটার হবে?

সমাধান:
 ধরি,
পরবর্তী ১০০ কি.মি.  যেতে সময় লাগে ক ঘণ্টা
তাহলে, গড় বেগ = মোট দূরতব/মোট সময়
= ১৮৫/( ২ + ক)

প্রশ্নমতে,
১৮৫/(২ + ক) = ৫০
⇒ ১০০ + ৫০ক = ১৮৫
⇒ ৫০ক = ৮৫
⇒ ক = ৮৫/৫০ ঘণ্টা
⇒ ক = (৮৫/৫০) × ৬০ মিনিট
∴ ক = ১০২ মিনিট

অতএব, বাসটি পরবর্তী  ১০০ কিলোমিটার রাস্তা ১০২ মিনিট সময়ে অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: log_p(2/3) = - 1/2 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
log_p(2/3) = -1/2
⇒ p^-1/2 = 2/3
⇒ 1/p^1/2 = 2/3
⇒ 1/√p = 2/3
⇒ 2√p = 3
⇒ (2√p)² = 3²
⇒ 4p = 9
∴ p = 9/4

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১৫ টাকা ও ২০ টাকা কেজি দরে দুই ধরনের ডাল কি অনুপাতে মিশালে মিশ্রিত ডালের দাম প্রতিকেজি ১৬.৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি,
১৫ টাকা কেজি দরের চায়ের পরিমাণ = ক কেজি
২০ টাকা কেজি দরের চায়ের পরিমাণ = খ কেজি

প্রশ্নমতে,
১৫ক + ২০খ = ১৬.৫(ক + খ)
⇒ ১৫ক + ২০খ = ১৬.৫ক + ১৬.৫খ
⇒ ১.৫ক = ৩.৫খ
⇒ ক/খ = ৩.৫/১.৫
⇒ ক/খ = ৩৫/১৫
⇒ ক/খ = ৭/৩
∴ ক : খ = ৭ : ৩

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + 8 + ...........  ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 2/1 = 2
পদসংখ্যা n = 9

∴ ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি S₉ = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)
= {1(2⁹ - 1)}/(2 - 1)
= (512 - 1)/1
= 511

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের মান ১২০°।
যেকোনো দুইটি বাহু উৎপন্ন করলে দুইটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হবে।
সুতরাং উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি হবে = ১২০° + ১২০° = ২৪০°

প্রশ্ন: একটি চালের বস্তা ৯৪০ টাকা বিক্রয় করায় ৬০ টাকা ক্ষতি হলে, শতকরা ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
বস্তার ক্রয়মূল্য = ৯৪০ + ৬০ = ১০০০ টাকা

এখন,
১০০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ৬০ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৬০/১০০০ টাকা
∴  ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৬০ × ১০০)/১০০০ ন্টাকা 
= ৬ টাকা বা ৬ % 

প্রশ্ন: a² - 11a + 30 এবং a² - 25 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - 11a + 30
= a² - 5a - 6a + 30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)

২য় রাশি = a² - 25
= a² - 5²
= (a + 5)(a - 5)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 5

প্রশ্ন: 2 + cot²θ = 5 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2 + cot²θ = 5
⇒ cot²θ = 5 - 2
⇒ cot²θ = 3
⇒ cotθ = √3
⇒ cotθ = cot30°
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: সেজান ও রাকিবের বয়সের অনুপাত ৪ : ৩। ৬ বছর আগে সেজান ও রাকিবের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের পার্থক্য কত বছর হবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্তমানে সেজানের বয়স = ৪ক বছর
বর্তমানে রাকিবের বয়স = ৩ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৪ক - ৬)/(৩ক - ৬) = ৫/৩
⇒ ১৫ক - ৩০ = ১২ক - ১৮
⇒ ৩ক = ১২
∴ ক = ৪

∴ ৬ বছর পর তাদের বয়সের পার্থক্য হবে = (৪ক + ৬) - (৩ক + ৬)
= {(৪ × ৪) + ৬} - {(৩ × ৪) + ৬}
= ২২ - ১৮
= ৪ বছর

প্রশ্ন: a + (2/a) = 3 হলে, a³ + (8/a³) এর মান কত?

সমাধান:
a³ + (8/a³) = {a + (2/a)}³ - 3 ⋅ a ⋅ (2/a){a + (2/a)}
= 3³ - 3 ⋅ 2 ⋅ 3
= 27 - 18
= 9

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এ ∠B এর মান কত?
 

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুইটি কোণের সমষ্টি এক সরলকোণ বা 180°।
∴ ∠B = 180° - 80°
= 100°

প্রশ্ন: ১ ট্রিলিয়ন = কত?

সমাধান:
১ ট্রিলিয়ন = ১০^১২
= ১০^৫ × ১০^৭
= ১০^৫ × ১ কোটি
= ১ লক্ষ কোটি

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতির বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ মিটার
∴ বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = ৬a^২
= ৬ × ৪^২
= ৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২০০০ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৫০ সে.মি.। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

সমাধান:
২০০০ সাল অধিবর্ষ হওয়ায় ফেব্রুয়ারি মাস ছিল ২৯ দিনে।
∴ মোত বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = ২৯ × ০.৫০ সে.মি.
= ১৪.৫ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a
মূল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab

তাহলে,
২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a
২য় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 2b
২য় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2a × 2b
= 4ab
= 4 × মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
বর সংখ্যাটি = ৪ক
এদের ল.সা.গু = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১০৮
∴ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ × ৯ = ২৭

প্রশ্ন: 12 ⋅ 27^p = 2² ⋅ 9^{p + 4} হলে p এর মান কত?

সমাধান;
12 ⋅ 27^p = 2² ⋅ 9^{p + 4}
⇒ 3 ⋅ 4 ⋅ (3³)^p = 4 × (3²)^{p + 4}
⇒ 3 ⋅ 4 ⋅ 3^3p = 4 × 3^{2p + 8}
⇒ 4 ⋅ 3^{1 + 3p} = 4 ⋅ 3^{2p + 8}
⇒ 3^{1 + 3p} = 3^{2p + 8}
⇒ 1 + 3p = 2p + 8
⇒ 3p - 2p = 8 - 1
∴ p = 7