৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

x³ + y³ + 15xy
= (x + y) ³ - 3xy(x + y) + 15xy
= 5³ - 15xy + 15xy
= 5³ = 125

b² - 4ac = 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং সমান এবং মূলদ
b² - 4ac পূর্ণ বর্গ হলে বাস্তব এবং অসমান এবং অমূলদ
b² - 4ac < 0 হলে মূল দুইটি জটিল সংখ্যা
b² - 4ac > 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান

x – 1/x = p
বা, (x² - 1)/x = p
বা, x² - 1 = px
বা, x² - px = 1
বা, x(x - p) = 1
c/x(x – p)
= c/1
= c

x + 1/x = 3
বা, (x² + 1)/x = 3
বা, (x² + 1) = 3x
বা, x² - 2x + 1 = x
বা, (x - 1)² = x
3x/(x - 1)²
= 3x/x
= 3

9a⁴ - 34a²x² + 25x⁴
= 9a⁴ -9a²x² - 25a²x² + 25x⁴
= 9a²( a² - x²) - 25x²( a² - x²)
= (9a² - 25x²)( a² - x²)
= (3a + 5x) (3a – 5x) (a + x)(a - x)

ধরি, দশক স্থানের অঙ্কে = ২x
তাহলে, একক স্থানের অঙ্ক = ২x এর ১/২ = x
সংখ্যাটি = ১০(২x) + x = ২১x
প্রশ্নমতে,
২১x/(২x²) = ৭/২
x = ৩
সংখ্যাটি = ২১ x ৩ = ৬৩

a² + 3a - x² - x + 2
= a² - x² + 2a – 2x + a + x + 2
= (a + x)(a – x) + 2(a - x) + (a + x +2)
= (a - x) (a + x + 2) + (a + x +2)
= (a + x + 2) (a – x + 1)

2√2x³ + 125
= (√2x)³ + (5)³
= (√2x + 5) {(√2x)² - √2x.5 + 5²}
= (√2x + 5) (2x² - 5√2x + 25)

(1 - x²/4)⁸
= 1.1 - 8(- x²/4) + (8.7/2)(- x²/4)² - (8.7.6/2.3)(- x²/4)³ +………
= 1 – 2x² + 7x⁴/4 – 7x⁶/8 +…………
x⁶ এর সহগ – 7/8

x/3 + x/4 + x/5 > 47/60
(20x + 15x + 12X)/60 > 47/60
47x/60 > 47/60
x > 1

70 টাকা কেজি দরে x কেজি আমের মূল্য 70x টাকা
x খানা 20 টাকার মূল্যমান 20x টাকা
প্রশ্নমতে,
70x + 20x < 500
90x < 500
x < 500/90
x < 5.55
সম্ভাব্য মান 0 < x < 6

f(x) = 3x³ + 2x² - 21x – 20
f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21.-1 -20
= 0
সুতরাং রাশিটির একটি উৎপাদক হলো x – (-1) = x + 1

7x – 2 – 3x² = 0
x = [-7 ± √{(7)² - 4.3.1}]/2.(-3)
x = (-7 ± √25)/-6
x = - (7 ± 5)/-6
x = 1/3, 2

মনে করি, দশক স্থানীয় অংকটি = x
এবং একক স্থানীয় অংঙ্কটি = y
সংখ্যাটি = 10x + y
১ম শর্তমতে, y = 3x + 1 ------------ (1)
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যটি 10y + x
২য় শর্তমতে, 10y + x = 8(x +y) -------- (2)
সমীকরণ দুটি থেকে পাই,
10(3x + 1) + x = 8(x + 3x + 1)
30x + 10 + x = 32x + 8
31x + 10 = 32x + 8
-x = -2
x = 2
(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই y = 7
তাহলে, সংখ্যাটি 10x + y = 10.2 + 7 = 27

3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1}/(3^{m² - m} ÷ 3^{2m + 2}/3^{m² - 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m} ÷ 3^{2m + 2 - m² + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m - 2m - 2 + m² - 1 + 2}
= 3⁰
= 1

(a^-1 + b^-1)^-1
= (1/a + 1/b)^-1
= {(a+b) / ab}^-1
= ab / (a+b)

লাইভ পরীক্ষায় ব্র্যাকেট ভুল জায়গাতে ছিল। তাই, বাতিল করা হল।
সমীকরণ নিয়ে ইদানীং বেশ সমস্যা হয়েছে। তাই, আগামী পরীক্ষা থেকে ম্যাথের সকল সমীকরণ বইয়ে যেভাবে থাকে সেভাবে দেয়া হবে।

[³√27. 2ⁿ] - [(³√64. 2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)]

= [(3³)^1/3. 2ⁿ] – [{(4³)^1/3. 2^{n– 2}} / (2ⁿ - 2ⁿ/2)]

= [3 . 2ⁿ] - (2².2^{n – 2}) / (2ⁿ(1 – 1/2)

= [3. 2ⁿ] - [2ⁿ/2ⁿ(1 – 1/2)]

= 2ⁿ(3 - 1) / 2ⁿ(1 – 1/2)

= 2/(1/2)

= 4

a^x = b^y
a^x/x = b^y/x (উভয় পাশে 1/x ঘাত নিয়ে)
a = b^y/x
আবার, b^y = c^z
c^z/z = b^y/z (উভয় পাশে 1/z ঘাত নিয়ে)
c = b^y/z

b² = ac
b² = b^y/x.b^y/z (মান বসিয়ে)
b² = b^{y/x + y/z}
2 = y/x + y/z
2 = y(1/x + 1/z)
(1/x + 1/z) = 2/y

log₅(√5) (√5) - log_2√5400 + log₆6√6
log₅(5^1/2+1/2) - log_2√5(2√5)⁴ + log₆6^3/2
log₅5 – 4log_2√5(2√5) + 3/2log₆6
1 – 4 + 3/2
-3/2

Log[98 + √(x² - 12x + 36)] = 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = antilog 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = 100
√(x² - 12x + 36) = 2
x² - 12x + 36 = 4
x² - 12x + 32 = 0
(x - 4)(x - 8) = 0
x = 4 or 8

log_x324 = 4
x⁴ = 324
x⁴ = (3√2)⁴
x = 3√2

১ম পদ a = 7
সাধারন অন্তর d = 12 – 7 = 5
30 টি পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= 30/2{2.7 + (30 - 1)5}
= 15(14 + 145) = 15 x 159 = 2385

n = 1 হলে, ধারাটির ১ম পদ /১ম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 2
n = 2 হলে, ধারাটির ১ম দুটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 – 2 = 4
n = 3 হলে, ধারাটির ১ম তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 12
ধারাটির ৩য় পদ = 12 – (2 + 4) = 6
তাহলে, ধারাটি 2 + 4 + 6 +………………………

5 + x + y + 135
ধারাটির ১ম পদ a = 5
সাধারন অনুপাত r = x/5 = y/x -----------------(1)
তাহলে, চতুর্থ পদ = ar^4-1
= 5.(x/5)³
প্রশ্নমতে, 5.(x/5)³ = 135
5x³/5³ = 135
x³ = 135 . 5³/5
x = 15
সমীকরণ ১ থেকে পাই, y = 45

{(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৩০৫ + ৫)/২ x ((৩০৫ - ৫)/৩) +১
= ১৫৫ x ১০১
= ১৫৬৫৫

সঠিক সূত্র গুলো হলো: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

n(A∪B∪C) = 100, n(A) = 42, n(B) = 46, n(C) = 39, n(A∩B) = 13, n(B∩C) = 14, n(C∩A) = 12, n(A∩B∩C) = ?
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
100 = 42 + 46 + 39 – 13 – 14 – 12 + n(A∩B∩C)
n(A∩B∩C) = 100 – 88 = 12

৬ টি অঙ্কই ভিন্ন ভিন্ন এজন্য এদেরকে সাজালে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা হয়।
৬ টি জিনিসের মধ্যে ৩ টি কে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 6P₃ = 6!/(6 - 3)!
= 6!/3! = 6.5.4 = 120

MILLENNIUM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১০ টি
প্রথমে ও শেষে M রাখলে বর্ণ থাকে (১০ - ২) বা ৮ টি তার মধ্যে L = 2, I = 2, N = 2
তাহলে সাজানো যাবে ৮!/ (২! ২! ২!)
= ৮.৭.৬.৫.৩ = ৫০৪০

৭ জন মেয়ে বন্ধু থেকে ৪ জনকে সাজানো যায় 7C₄ উপায়ে
(১২ - ৭) বা ৫ জন ছেলে বন্ধু থেকে (৬ - ৪) বা ২ জন ছেলে বন্ধুকে সাজানো যায় 5C₂ উপায়ে
মোট সাজানো সংখ্যা =7C₄ x 5C₂ 
= 7.6.5.4!/4!3! x 5.4.3!/2!3!
= 35 x 10 = 350

আগস্ট মাস = ৩১ দিন এবং বৃষ্টি হয়েছে ২২ দিন।
তাহলে, ৪ঠা আগস্ট বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ২২/৩১।

মোট বল = ৭ + ৪ + ৯ = ২০ টি
একটি বল তুললে বলটি কমলা হবার সম্ভাবনা ৪/২০
আবার, একটি বল তুললে বলটি সবুজ হবার সম্ভাবনা ৯/২০
ঘটনা দুটি পরষ্পর বর্জনশীল।
এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা = ৪/২০ + ৯/২০ = ১৩/২০

ইংরেজী বর্ণমালায় বর্ণ আছে ২৬টি
বর্ণ D হবার সম্ভাব্যতা = ১/২৬
বর্ণটি স্বরবর্ণ হবার সম্ভাব্যতা = ৫/২৬
বর্ণটি D বা স্বরবর্ণ হবার সম্ভাব্যতা = ১/২৬ + ৫/২৬ = ৬/২৬ = ৩/১৩

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
গড় = (২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯)/৮ = ৯.৬২

সংখ্যাগুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ৮, ৯, ১১, ১২, ১৩, ১৫, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯, ৩১, ৩৪
মধ্যক = {১৬/২ তম ও (১৬/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল} / ২
= {৮ ও ৯ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২০ + ২১)/২ = ২০.৫