প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9 হয়, তবে ab-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 189 = 9³ - 3ab × 9
⇒ 189 = 729 - 27ab
⇒ 27ab = 729 - 189
⇒ 27ab = 540
⇒ ab = 540/27
∴ ab = 20

প্রশ্ন: 5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর বর্তমান বয়স = x বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = y বছর

প্রথম শর্তমতে,
5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ
⇒ x - 5 = 3(y - 5)  
⇒ x - 5 = 3y - 15
∴ x = 3y - 10 ……… (1)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ (3y - 10) + 10 = 2(y + 10) ; [1 নং হতে]
⇒ 3y = 2y + 20
⇒ 3y - 2y = 20
∴ y = 20

সুতরাং খ-এর বর্তমান বয়স = 20 বছর

প্রশ্ন: x³ + 6x² + 11x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি, f(x) = x³ + 6x² + 11x + 6

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
 f(- 1) = (- 1)³ + 6(- 1)² + 11(- 1) + 6
= - 1 + 6 - 11 + 6
= 12 - 12
= 0

যেহেতু  f(- 1) = 0 তাই (x + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: (x + 4)(x - 4) কে x² - 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 4)(x - 4)
= x² - 4²
= x² - 16

এখন,
 x² - 10)  x² - 16  ( 1
               x² - 10   
—————————
                     - 6

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 6

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 2 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুইটি সংখ্যা হলো x এবং y ; [যেখানে, x > y]

দেওয়া শর্তমতে,
x + y = 14  ……… (1)
x - y = 2   ……… (2)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 14 + 2
⇒ 2x = 16
∴ x = 8
এখন x = 8 কে সমীকরণ (1)-এ বসাই, 
⇒ 8 + y = 14
⇒ y = 14 - 8
∴ y = 6

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি 8 এবং 6

প্রশ্ন: যদি x = 5 এবং y = 2 হয়, তবে 9x² - 30xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 5 এবং y = 2

প্রদত্ত রাশি, 
9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2 × (3x) × (5y) + (5y)²
= (3x - 5y)²
= [3(5) - 5(2)]² ; [x = 5, y = 2 বসিয়ে]
= (15 - 10)²
= 5²
= 25

প্রশ্ন: 7(2x - 3) = 3(4x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
7(2x - 3) = 3(4x + 1)
⇒ 14x - 21 = 12x + 3
⇒ 14x - 12x = 3 + 21
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
∴ x = 12

প্রশ্ন: 2x⁴ + 16x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x⁴ + 16x
= 2x(x³ + 8)
= 2x(x³ + 2³)
= 2x(x + 2)(x² - 2x + 4)

প্রশ্ন: 9m² + 25n² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
9m² + 25n²
= (3m)² + (5n)²

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²
∴ (3m)² + 2.(3m).(5n) + (5n)²
= (3m + 5n)²

অর্থাৎ (3m)² + (5n)² এর সাথে যদি 2.3m.5n = 30mn যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 9m² + 25n² এর সাথে 30mn যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: যদি p = 4 এবং q = 3 হলে, p - [q - {p - (q - 1)}] এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4 এবং q = 3

প্রদত্ত রাশি, 
p - [q - {p - (q - 1)}]
= p - [q - {p - q + 1}]
= p - [q - p + q - 1]
= p - [2q - p - 1]
= p - 2q + p + 1
= 2p - 2q + 1
= 2(4) - 2(3) + 1
= 8 - 6 + 1
= 3

প্রশ্ন: x + (1/x) = √10 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √10

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= (√10)³ - 3 × √10
= 10√10 - 3√10
= 7√10

প্রশ্ন: সাকিব ও তামিম মিলে একটি ম্যাচে 140 রান করল। সাকিব যদি তামিমের চেয়ে 20 রান বেশি করে থাকে, তবে সাকিব কত রান করেছে?

সমাধান: 
ধরি,
তামিমের রান = x
তাহলে সাকিবের রান = x + 20

প্রশ্নমতে, 
x + (x + 20) = 140
⇒ 2x + 20 = 140
⇒ 2x = 140 - 20
⇒ 2x = 120
⇒ x = 120/2
∴ x = 60

∴ সাকিবের রান = 60 + 20 = 80

অতএব, সাকিব 80 রান করেছে। 

প্রশ্ন: 16x² - 25y² - 20y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
16x² - 25y² - 20y - 4
= 16x² - (25y² + 20y + 4)
= 16x² - {(5y)² + 2 × 5y × 2 + 2²}
= (4x)² - (5y + 2)²
= {4x - (5y + 2)}{4x + (5y + 2)}
= (4x - 5y - 2)(4x + 5y + 2)

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

প্রশ্ন: 2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2
= 2.8 + (4 × 2) - 6 × 0.5 + 2
= 2.8 + 8 - 3 + 2
= 12.8 - 3
= 9.8

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x² + y² = 18 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6
⇒ (x + y)² = 6²
⇒ x² + 2xy + y² = 36 [যেহেতু x² + y² = 18]
⇒ 18 + 2xy = 36
⇒ 2xy = 36 - 18
⇒ xy = 18/2
∴ xy = 9

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (6)³ - 3 × 6 × 9
= 216 - 162
= 54

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে কমলাপুর স্টেশন থেকে নারায়ণগঞ্জ স্টেশনে পৌঁছাল। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগত। দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, কমলাপুর থেকে নারায়ণগঞ্জের দূরত্ব = d কি.মি.

তাহলে, বেগ ৩০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/30 ঘণ্টা
এবং বেগ ২৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/25 ঘণ্টা

আবার, 
25 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে 10 মিনিট বেশি সময় লাগে।
∴ 10 মিনিট = 10/60 = 1/6 ঘণ্টা

প্রশ্নানুসারে,
(d/25) - (d/30) = 1/6
⇒ (6d - 5d)/150 = 1/6
⇒ d/150 = 1/6
⇒ d = 150 × (1/6)
∴ d = 25 কি.মি.

সুতরাং, দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 25 কিলোমিটার। 

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + 13a + 36
= a² + 9a + 4a + 36
= a(a + 9) + 4(a + 9)
= (a + 9)(a + 4)

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 25x² - px + 16 পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
25x² - px + 16
= (5x)² - 2.5x.4 + 4² - px + 2.5x.4
= (5x - 4)² + 40x - px

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
⇒ 40x - px = 0
⇒ px = 40x
∴ p = 40

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি x = √20 + 4 হয়, তাহলে x² - 8√20 এর মান কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x = √20 + 4
⇒ x² = (√20 + 4)²
⇒ x² = (√20)² + 4² + 2 × √20 × 4 ; [(a + b)² = a² + b² + 2ab]
⇒ x² = 20 + 16 + 8√20
⇒ x² = 36 + 8√20
⇒ x² - 8√20 = 36
∴ x² - 8√20 = 36

∴ নির্ণেয় মান হল 36

প্রশ্ন: 5x - 3y = 9 এবং 3x + 3y = 15 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
5x - 3y = 9 ......(1)
3x + 3y = 15 .......(2)

এখন সমীকরণ (1) এবং (1) যোগ করি,
(5x - 3y) + (3x + 3y) = 9 + 15
⇒ 5x - 3y + 3x + 3y = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

এখন x = 3 কে (2) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ 3(3) + 3y = 15
⇒ 9 + 3y = 15
⇒ 3y = 15 - 9
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3
∴ y = 2

সুতরাং, (x, y) = (3, 2) 

প্রশ্ন: 2x² - xy - 6y² এর উৎপাদক-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² - xy - 6y²
= 2x² - 4xy + 3xy - 6y²
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 হয়, তবে a³ + b³ + 24ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 8

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 24ab
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 24ab
= 8³ - 3ab × 8 + 24ab
= 512 - 24ab + 24ab
= 512

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত টাকা করে দেওয়ায় মোট 400 টাকা হলো। পরে আরও 5 জন সদস্য যোগ দিলে এবং প্রত্যেকে একই হারে টাকা দিলে মোট কত টাকা হবে? 

সমাধান: 
ধরি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = n জন
এবং প্রত্যেক সদস্য n পরিমাণ টাকা করে দেয়। 

প্রশ্নমতে, 
n × n = 400
⇒ n² = 400
⇒ n = √400
∴ n = 20

সুতরাং আসল সদস্য সংখ্যা ছিল 20 জন এবং প্রত্যেকে 20 টাকা করে দিয়েছিল। 

আবার, 
আরও 5 জন সদস্য যোগ দেওয়ায় বর্তমান সদস্য সংখ্যা = 20 + 5 = 25 জন।
যেহেতু প্রত্যেকে একই হারে (অর্থাৎ 20 টাকা করে) দিচ্ছে,
তাই মোট টাকা পরিমাণ = 25 × 20 = 500 টাকা।

সুতরাং নতুন মোট টাকার পরিমাণ 500 টাকা। 

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 5 হয়; p³ + q³ + r³ = 35 এবং p² + q² + r² = 13 হয়, তবে 3pqr = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
p + q + r = 5;
p³ + q³ + r³ = 35
p² + q² + r² = 13

আমরা জানি, 
p³ + r³ + q³ = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr

আবার,
আমরা জানি,
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2(pq + qr + pr)
⇒ 25 = 13 + 2 × (pq + qr + rq)
⇒ 2(pq + qr + pr) = 25 - 13
⇒ (pq + qr + pr) = 12/2
∴ (pq + qr + pr) = 6

এখন, p³ + r³ + q³ = (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr
⇒ 35 = 5(13 - 6) + 3pqr
⇒ 3pqr = 35 - 35
∴ 3pqr = 0

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y
∴ সংখ্যাটি = x + 10y

১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7 
∴ x - 2y = - 7 ........(1)

২য় শর্তানুসারে,
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
 ⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
 ⇒ 9(y - x) = 18
⇒ y - x = 18/9
∴ y - x = 2 ........(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = 10 - 7
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

প্রশ্ন: x² - 2xy - z² + 2yz এর একটি উৎপাদক (x - z) হলে অপরটি-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 2xy - z² + 2yz
= x² - z² - 2xy + 2yz
= (x - z)(x + z) - 2y(x - z)
= (x - z)(x + z - 2y)
= (x - z)(x - 2y + z)

প্রশ্ন: যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20

প্রদত্ত রাশি, 
20p - 15q + 40r
= 20 × (7/10) - 15 × (4/5) + 40 × (11/20)
= (2 × 7) - (3 × 4) + (2 × 11)
= 14 - 12 + 22
= 2 + 22
= 24

প্রশ্ন: a⁴ - 2a² + 1 = 0 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2.a².1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
∴ a = 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 20 এবং তাদের বর্গের যোগফল 41। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা x এবং y
দেওয়া আছে, 
x × y = 20
এবং x² + y² = 41

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²
⇒ (x + y)² = (x² + y²) + 2xy
⇒ (x + y)² = 41 + 2 × 20
⇒ (x + y)² = 41 + 40
⇒ (x + y)² = 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: x(x + 3)(x + 4)(x - 1) + 4 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x(x + 3)(x + 4)(x - 1) + 4
= {x(x + 3)}{(x + 4)(x - 1)} + 4
= (x² + 3x)(x² + 3x - 4) + 4

ধরি, x² + 3x = a

প্রদত্ত রাশি, 
= a(a - 4) + 4
= a² - 4a + 4 
= (a - 2)²
= (x² + 3x - 2)² ; [a এর মান বসিয়ে] 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপরটির 2/5 গুণ। তাদের বিয়োগফল 27 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = (2/5)x

প্রশ্নমতে, 
x - (2/5)x = 27
⇒ (5x - 2x)/5 = 27
⇒ x = 27 × (5/3)
⇒ x = 9 × 5
∴ x = 45

সুতরাং বড় সংখ্যাটি 45

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করলে যোগফলটি ঐ সংখ্যার 5 গুণের চেয়ে 5 কম হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
4x + 10 = 5x - 5
⇒ 4x - 5x = - 5 - 10 
⇒ - x = - 15
∴ x = 15

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 15