৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে 4 টি লিচু, 11টি আম এবং 15 টি কমলা আছে। ঝুড়ি থেকে দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে লিচু অথবা কমলা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঝুড়িতে লিচু আছে = 4 টি
ঝুড়িতে আম আছে =11টি
ঝুড়িতে কমলা আছে = 15 টি

মোট ফল আছে = (4 + 11 + 15) টি  = 30 টি

∴ ফলটি লিচু হওয়ার সম্ভাবনা = 4/30 
∴ ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = 15/30

∴ ফলটি লিচু অথবা কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = (4/30) + (15/30)
= (4 + 15)/30
= 19/30

প্রশ্ন: যদি log_a4 = 0.4 হয়, তাহলে a^{- 1} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a4 = 0.4 
বা, log_a4 = 4/10
বা, log_a4 = 2/5
বা, a^2/5 = 4
বা, a = 4^5/2
বা, a = 2^2(5/2)
বা, a = 2⁵
বা, a = 32
∴ a^-1 = 1/32

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। 

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + ........... একটি গুণোত্তর ধারা।
৩, ৯, ২৭...............
১/২, ১/৪ ১/৮................

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে, টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তাসের সংখ্যা = 52 টি

এখন,
একটি তাসের প্যাকেটে,
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি
টেক্কার সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি  টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা =  (4/52)
= 4/52
= 1/13

প্রশ্ন: রাকিব একটি মাটির ব্যাংকে প্রথম দিনে ১টি, ২য় দিনে ২টি, ৩য় দিনে ৪টি মুদ্রা জমা করে। এভাবে মুদ্রা জমা করলে ৮ দিনে মোট কতটি মুদ্রা জমা করবে?

সমাধান:
রাকিবের টাকা জমা করার অনুক্রম: ১, ২, ৪, . . . ., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = ৮
১ম পদ, a = ১
অনুপাত, r = ২/১ = ২

∴ ৮টি পদের সমষ্টি = ১ × {(২^৮ - ১)/(২ - ১)} [∵ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}]
= (২৫৬ - ১)/১
= ২৫৫ 

∴ রাকিব ৮ দিনে মোট ২৫৫ টি মুদ্রা জমা করবে।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার চাল দেওয়া হলো। প্রথম চালে 4, 5 অথবা 6 এবং দ্বিতীয় চালে 1, 2, 3 অথবা 4 ওঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে সম্ভাব্য নমুনা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি

এখন,
প্রথম চালে 4, 5 অথবা 6 ওঠার সম্ভাবনা = 3/6
= 1/2
এবং, দ্বিতীয় চালে 1, 2, 3 অথবা 4 ওঠার সম্ভাবনা = 4/6
= 2/3

∴ প্রথম চালে 4, 5 অথবা 6 এবং দ্বিতীয় চালে 1, 2, 3 অথবা 4 ওঠার সম্ভাবনা = (1/2) × (2/3)
= 2/6
= 1/3

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একজন লোকের ময়মনসিংহ হতে কুমিল্লায় বাসে যাবার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কুমিল্লা থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা ৪/৭। কুমিল্লায় বাসে যাবার এবং চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুমিল্লায় বাসে যাবার সম্ভাবনা = ৩/৫
 চট্রগ্রাম ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴  চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭)
 = (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭

∴ কুমিল্লায় বাসে যাবার এবং চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = (৩/৫) × (৩/৭)
= ৯/৩৫

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a + b + c + d + . . . .  একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a + b + c + d + . . . .  একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ b/a = c/b = d/c

∴ b/a = d/c সম্পর্কটি সঠিক।

প্রশ্ন: 40 থেকে 50 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে ইচ্ছেমতো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 3 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
40 থেকে 50 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
40 থেকে 50 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 41, 43, 47 = 3 টি
40 থেকে 50 পর্যন্ত 3 এর গুণিতক = 42, 45, 48 = 3 টি

এখন,
সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/11
এবং, সংখ্যাটি 3 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/11

∴ সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 3 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = (3/11) + (3/11)
= (3 + 3)/11
= 6/11

প্রশ্ন: একটি বাসে যতজন যাত্রী ছিল তা থেকে প্রতি ষ্টেশনে অর্ধেক করে যাত্রী নেমে যায়। এভাবে মোট ষ্টেশন সংখ্যা ৮ হলে এবং শেষে ১ জন যাত্রী অবশিষ্ট থাকলে প্রথম ষ্টেশনে কতজন যাত্রী নেমে যায়?

সমাধান:
মনেকরি, যাত্রার শুরুতে যাত্রী ছিল = ক জন
প্রতি ষ্টেশনে অর্ধেক করে নেমে গেলে ৮ টি ষ্টেশনে নামার পর অবশিষ্ট থাকে 1 জন।

প্রশ্নমতে,
বা, ক × (১/২)^৮ = ১
বা, ক/২৫৬ = ১
বা, ক = ২৫৬

যাত্রার শুরুতে যাত্রী ছিল = ২৫৬ জন
∴ প্রথম ষ্টেশনে যাত্রী নেমে যায় = ২৫৬/২ জন
= ১২৮ জন

প্রশ্ন: log_a(5/2) = - (1/2) হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(5/2) = - (1/2)
⇒ a^-(1/2) = 5/2
⇒ 1/a^(1/2) = 5/2
⇒ 1/√a = 5/2
⇒ 1/a = 25/4 [বর্গ করে]
∴ a = 4/25

প্রশ্ন: 4 + (4/3) + (4/9) + . . . .  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 4
২য় পদ = 4/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি অফিসের ৭০% কর্মচারী যানবাহনে যাতায়াত করে যার মধ্যে ৩০% বাসে যাতায়াত করে। যদি অফিসের একজন কর্মচারী দৈবভাবে নির্বাচন করা হয়, তাহলে তার বাসে যাতায়াত করার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মনেকরি
মোট কর্মচারী = ১০০ জন
যানবাহনে যাতায়াত করে = ৭০%
৭০% এর মধ্যে বাসে যাতায়ত করে = ৩০%

∴ বাসে যাতায়ত করে = ৭০ এর ৩০%
= ৭০ × (৩০/১০০)
= ২১ জন

∴ বাসে যাতায়তের সম্ভাব্যতা = ২১/১০০
= ০.২১

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার, প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে নিচের কোনটি ভুল?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে দুইটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে মোট ঘটনা = ২^৩ = ৮ টি

দুইটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {TTH, THT, HTT} = ৩ টি

∴ দুইটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৮

প্রশ্ন: 3log2 + log5 = ?

সমাধান:
3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 6
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

  ∴ 6 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= {(64 - 1)/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

প্রশ্ন: 2022 সালের সেপ্টেম্বর মাসের তৃতীয় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 4 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃষ্টি হয়েছে মোট = 4 দিন

আমরা জানি,
কোন ঘটনা নিশ্চিত ঘটার সম্ভাবনা = 1

এখন, যেকোনো দিন বৃষ্টি হওয়া মানে শনিবারও বৃষ্টি হতে পারে।
∴ ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7 [∵ 1 সপ্তাহ = 7 দিন]

∴ শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (4/7)
= (7 - 4)/7
= 3/7

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ............  গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 729 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3

ধরি,
n তম পদ = 729
বা, ar^{n - 1} = 729
বা, 3 × 3^{n - 1} = 729
বা, 3^{1 + n - 1} = 3⁶
বা, 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 729 হবে।