Math Master

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 20 মি., BC = 24 মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
বা, 120 = (1/2) × 20 × 24 × sin ∠B
বা, 120 = 240 × sin ∠B
বা, sin ∠B = 120/240
বা, sin ∠B = 1/2
বা, sin ∠B = ‍sin 30°
∴ ∠B = 30°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3 বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 49√3 বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(বাহু)²
এখন, (√3/4)(বাহু)² = 49√3
⇒ (1/4)(বাহু)² = 49
⇒ (বাহু)² = 49 × 4
⇒ (বাহু)² = 196
⇒ বাহু = 14

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = 14 + 14 + 14
= 42 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 12° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 12

প্রশ্নমতে,
x + x + 12 = 90°
⇒ 2x + 12 = 90°
⇒ 2x = 78°
∴ x = 39°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 39°

প্রশ্ন:  ক এর মান কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ভুমি^২ = অতিভুজ^২ - লম্ব^২
⇒ ক^২ = 50² - 30²
⇒ ক^২ = 2500 - 900
⇒ ক^২ = 1600
∴ ক = 40 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 14 : EF = 2 : 1
⇒ 14/EF = 2/1
⇒ 2EF = 14
⇒ EF = 7

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 14 + 7 = 21 সে.মি.

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 17 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
8² + 15² = 17²
⇒ 64 + 225 = 289
⇒ 289 = 289

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (60/4) × √(4 × 50² - 60²)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 1200/4 = 300 বর্গ সে.মি.
∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: ১৮ মিটার লম্বা একটি মই, দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর নিচের প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
১৮^২ = ১২^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ১৮^২ - ১২^২
⇒ ক^২ = ৩২৪ - ১৪৪
⇒ ক^২ = ১৮০
⇒ ক = √১৮০
∴ ক = ৬√৫ মিটার

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ = ৯ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
৩ + ৪ = ৭ = ৭ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৬ + ৭ = ১৩ > ১১ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: △ABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান;

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
= (1/2) × 18 সে.মি.
= 9 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 20
= 10 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
10 × ভূমি = 200
⇒ ভূমি = 200/10
⇒ ভূমি = 20 গজ

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 30 একক হলে অপরটি কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒ 150 = (1/2) × (30 × নির্ণেয় বাহু)
⇒ নির্ণেয় বাহু = (150 × 2)/30
= 10 একক

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6√2 মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6√2 মিটার

আমরা জানি,
∴ সমাবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 × a²)/4
= {√3 × (6√2)²}/4
= (√3 × 72)/4
= 18√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ মি., ২৪ মি. এবং ৩০ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা S = (১৮ + ২৪ + ৩০)/২ = ৭২/২ = ৩৬

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{৩৬(৩৬ - ১৮) (৩৬ - ২৪) (৩৬ - ৩০)}
= √(৩৬ × ১৮ × ১২ × ৬)
= ২১৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক, ক/২ এবং ৩ক/২। ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/২) + (৩ক/২) = ১৮০°
⇒ (২ক + ক + ৩ক)/২ = ১৮০°
⇒ ৬ক/২ = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০° × ২
⇒ ক = (১৮০° × ২)/৬
⇒ ক = ৬০°

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩ × ৬০°)/২ = ৯০°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা ক সে.মি. হলে, ক এর মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু^২
= (√৩/৪) × ২^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩ বর্গ সে.মি.

আবার, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = √৩
⇒ (১/২) × ২ × ক = √৩
⇒ ১ × ক = √৩
∴ ক = √৩ সে.মি.