নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গসে.মি., অতিভুজ ১৩ সেমি হলে পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
ধরি, অপর দুটি বাহু a, b মিটার 

(1/2)ab = 30 
⇒ ab = 60 

a² + b² = 13² 
⇒ (a + b)² - 2ab = 169 
⇒ (a + b)² = 169 + (2 × 60)
⇒ (a + b)² = 289 
∴ a + b = 17 

পরিসীমা = 17 + 13 সেমি = 30 সে.মি.

প্রশ্ন: secA  = (2/7) +  tanA হলে, secA + tanA =?

সমাধান:
secA  = (2/7) +  tanA
⇒ secA - tanA = 2/7

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA - tanA ) (secA + tanA) = 1
⇒ (2/7) (secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 7/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 578 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
প্রস্থ x মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য 2x মিটার 

প্রশ্নমতে,
2x × x = 578
⇒ 2x² = 578
⇒ x² = 578/2
⇒ x² = 289
∴ x = 17 

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (2 × 17) মিটার = 34 মিটার  

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: মনে করি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 24 সে. মি. এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h সে.মি.। সামান্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি

এখন, 
dh = 120
⇒ h = 120/d
= 120/24 
= 5 

কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য  5 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২ মিটার
বাহুর সংখ্যা, n = ৬ 

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(n × a^২)/৪} × cot(১৮০°/n)
∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {৬ × ২^২)/৪} × cot(১৮০°/৬) বর্গমিটার
= ৬ × cot৩০° বর্গমিটার
= ৬√৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ৬√৩ বর্গমিটার। 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 26 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 4/5 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ভূমির মান কত?  

সমাধান: 
ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার

সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5b/6 মিটার 

(4b/5) + (4b/5)  + b = 26
⇒ 13b/5 = 26
13b = 26 × 5
b= (26 × 5)/13
∴ b = 10  মিটার

প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 8/10 হয়, তবে cot A এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 8/10

আমরা জানি
⇒ cos²A = 1 - sin²A
⇒ cos²A = 1 - (8/10)²
⇒ cos²A = 1 - 64/100
⇒ cos²A = (100 - 64)/100
⇒ cos²A = 36/100
⇒ cos²A = (6/10)²
⇒ cosA = 6/10

cotA = cosA/sinA
= (6/10)/(8/10)
= 3/4

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার? 

সমাধান: 
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার 
৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার 

বাগানটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০০০ মিটার 
= ২০০ মিটার 

বাগানটির পরিসীমা = ২০০ × ৪ মিটার 
= ৮০০ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬০°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 160

 160 × n = (n - 2) × 180
বা, 160n = 180n - 360
বা, 20n = 360
বা, n = 360/20 =18

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ২৫ : ১৬। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, ক্ষেত্রফল ২৫x, ১৬x 

বাহুর দৈর্ঘ্য √(২৫x) বা ৫√x, √(১৬x) বা ৪√x 

পরিসীমা ২০√x,  ১৬√x 

পরিসীমার অনুপাত = ২০√x : ১৬√x 
= ২০ : ১৬ 
= ৫ : ৪ 

প্রশ্ন: কোনটি অসজ্ঞায়িত?

সমাধান:
tan90° = অসজ্ঞায়িত
sec90° = অসজ্ঞায়িত
cosec0° = অসজ্ঞায়িত

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার 
প্রস্থ x - 6 মিটার 

x (x - 6) = 160
⇒ x² - 6x - 160 = 0 
⇒ x² - 16x + 10x - 160 = 0 
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
⇒ x = 16, x = -10

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার।  

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

প্রশ্ন: sin²10° + sin²80° =?

সমাধান: 
sin²10° + sin²80°
= sin²10° + sin2(90 - 10)°
= sin²10° + {sin(90 - 10)°}²
= sin²10° + cos²10°
= 1

প্রশ্ন: cosec300° এর মান কত?

সমাধান: 
cosec300°
= cosec (4 × 90° -  60°)
= - cosec60°
= - 2/√3

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5 : 7 । বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি, 
১ম বৃত্তের  ব্যাসার্ধ = 5r 
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7r 
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (5r)² = 25πr² 
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (7)² = 49πr² 
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25πr²/49πr² = 25/49

∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25 : 49

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π ব্যাসার্ধ^২
= ৩৬π
= ৬^২π

ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
ব্যাস = ৬ × ২ মিটার
= ১২ মিটার

প্রশ্ন: যদি A = 30° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan²A) = কত?

সমাধান:
2tanA/(1 - tan2A)
= 2tan30°/{1 - {tan30°)²}
= {2.(1/√3)} / {1 - (1/√3)²}
= (2/√3) / {1 - (1/3)}
= (2/√3) / (2/3)
= (2/√3) × (3/2)
= √3

প্রশ্ন- বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 5 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান- 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ মি.
সুতরাং  প্রস্থ = 60/5 = 12 মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(12² + 5²) = √169 = 13

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13/2 = 6.5 মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 6 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.

এখন,
a² + a² = 62
বা, 2a² = 36
বা, a² = 18

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a 
= (1/2) × a²
= (1/2) × 18
= 9 বর্গমিটার

প্রশ্ন: xcos30° = ycosec45° হলে x² : y² =?

সমাধান:
xcos30° = ycosec45° 
⇒ x/y = cosec45° / cos30°
⇒ x/y = √2 / (√3/2)
⇒  x/y = 2√2 / √3
⇒  x²/y² = (2√2)² / (√3)² = 8/3
x² : y² = 8 : 3 

প্রশ্ন:  একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের  পরিসীমা কত মিটার ? 

সমাধান: 
ধরি, আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(13² - 5²) মি.
=√144 মি.
= 12 মি 

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(12 + 5) 
= 34 মিটার

প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm ও 5 cm বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
আমরা জানি
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
(অতিভুজ)^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২ 

এখানে,
5² = 25 

আবার,  
3² + 4² = 9 + 16 = 25 

∴ 3 cm, 4 cm ও 5 cm বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ ।

প্রশ্ন: পাড়সহ একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ২ মিটার হয়, তবে পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
 পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = ২০ মিটার
 পাড়সহ  পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

 পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩০ - (২ × ২) মিটার 
= (৩০ - ৪) মিটার 
= ২৬ মিটার 

 পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ = ২০ - (২ × ২) মিটার 
= (২০ - ৪) মিটার 
= ১৬ মিটার 

পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (২৬ × ১৬) বর্গমিটার 
= ৪১৬ বর্গমিটার

পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল = (৬০০ - ৪১৬) বর্গমিটার 
= ১৮৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ .মি. 
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০ মি. 
= ২০ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (২০ × ৪) মি. 
= ৮০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১.৫ টাকা
৮০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (৮০ × ১.৫) টাকা
= ১২০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, AC² = AB² + BC²
বা, y² = (15)² + (8)²
বা, y² = 225 + 64
বা, y² = 289
বা, y² = 17²
∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি  17 ফুট লম্বা।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি., ৯ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × লম্ব দূরত্ব
= (১/২) × (৬ + ৯) × ১০
= ৭৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 9 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 9√2 সেমি

এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 9√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (9√2)² = 162 বর্গসেমি

প্রশ্ন: (sinθ - cosθ)² + (sinθ + cosθ)² - 1 =? 

সমাধান: 
(sinθ - cosθ)² + (sinθ + cosθ)² -1 
= sin²θ - 2sinθcosθ + cos²θ + sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ - 1
= 1 + 1 - 1 
= 1 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ ৫ মিটার ও ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = রম্বসের ক্ষেত্রফল
⇒ ১/২ ×৫ × অপর কর্ণ =৩০ 
∴ অপর কর্ণ = ৬০/৫ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: ৩, ৪ ও x সেমি বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি হলে, x=?

সমাধান:
ঘনকের আয়তন = (বাহু)^৩
∴ ১ম ঘনকের আয়তন = ৩^৩ = ২৭ ঘন সে.মি.
২য় ঘনকের আয়তন = ৪^৩ = ৬৪ ঘন সে.মি.
৩য় ঘনকের আয়তন = x^৩ ঘন সে.মি.

∴ তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = (২৭ + ৬৪ + x^৩) = ৯১ + x^৩ ঘন সে.মি.

∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি হলে, 
আয়তন = ৬^৩ = ২১৬ ঘনসেমি 

৯১ + x^৩ = ২১৬
⇒ x^৩ = ২১৬ - ৯১ = ১২৫ = ৫^৩ 
⇒ x = ৫ সেমি

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ? 

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক 
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক 

∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
=  (১/২) × ৮ × ৯ 
= ৩৬ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার 
= ৬ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার 
= ২৪ মিটার 

প্রশ্ন: যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ  - cos(-θ) =? 

সমাধান: 
cotθ = 1
⇒ cotθ = cot45  
∴ θ = 45 

sinθ  - cos(-θ) 
= sinθ - cosθ
= sin45 - cos45 
= (1/√2) - (1/√2)
= 0 

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ২ মিটার, উচ্চতা ৭ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ২ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ১ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ৭ মিটার 

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh 
= ২ × (২২/৭) × (১) × ৭ বর্গ মিটার
= ৪৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: চিত্রে, AC = 25 সে.মি., AB = 15 সে.মি. হলে, BD =? 


সমাধান: 
BC² = AC² - AB² 
= 25² - 15² 
= 625 - 225 
= 400 

BC = √400 = 20 সেমি 

ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) AB × BC = (1/2) AC × BD 
⇒ BD = (15 × 20)/25
= 12 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 8 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজে ছয়টি সম আকৃতির সমবাহু ত্রিভুজ আছে। প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল
= 6 × (8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল)
= 6 × (√3/4) × 8²
= 96√3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: cos 45°cos15° + sin45°sin15° =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

∴cos 45°cos15° + sin45°sin15° 
= cos(45° - 15°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজে কয়টি কর্ণ আছে?

সমাধান: 
একটি অষ্টভুজে 8 টি বাহু আছে।
বাহুগুলো অষ্টভুজের কর্ণ হতে পারেনা।
অতএব, মোট কর্ণের সংখ্যা = ⁸C₂ - 8 = 28 - 8 = 20 টি