Math Master

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. বেগে চলে। ট্রেনটি ৫০০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ১ মিনিটে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
এখানে, 
৭২ কি.মি. = ৭২০০০ মি
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
 
৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৭২০০০ মি
১ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৭২০০০/৩৬০০ মি
৬০ সেকেন্ড অতিক্রম করে (৭২০০০ × ৬০)/৩৬০০ মি
= ১২০০ মি


প্রশ্নমতে, ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ১২০০ মি.
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (১২০০ – ৫০০) মি. = ৭০০ মি

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 45 কিলোমিটার বেগে এর দ্বিগুণ লম্বা একটি প্লাটফর্ম 2 মিনিটে অতিক্রম করে। প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
3600 সেকেন্ড অতিক্রম করে 45000 মি
1 সেকেন্ড অতিক্রম করে 45000/3600 মি
120 সেকেন্ড অতিক্রম করে (45000 × 120)/3600 মি
= 1500 মি

ধরি,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মিটার 
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার 

প্রশ্নমতে,
2x + x = 1500
3x = 1500 
x = 1500/3 
x = 500 মিটার 

প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 2 × 500 = 1000 মিটার

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৪৫ কিমি গতিতে একটি ট্রেন ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। একটি খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৪৫০০০ মি
১ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৪৫০০০/৩৬০০ মি
৬০ সেকেন্ড অতিক্রম করে (৪৫০০০ × ৬০)/৩৬০০ মি
= ৭৫০ মি

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭৫০ - ১০০ = ৬৫০ মি

৪৫০০০ মি অতিক্রম করে ৩৬০০ সেকেন্ডে
১মি অতিক্রম করে ৩৬০০/৪৫০০০ সেকেন্ডে
৬৫০ মি অতিক্রম করে (৩৬০০ × ৬৫০)/৪৫০০০ সেকেন্ডে
= ৫২ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: ৪৮ কিমি/ঘণ্টা বেগে চলমান ট্রেনে বসে একজন লোক বৈদ্যুতিক খুঁটি গণনা করছে। দুটি খুঁটির মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২০ মি হলে, সে ৫ ঘণ্টায় মোট কতটি খুঁটি গননা করেছে?

সমাধান:
ট্রেনটি ৫ ঘন্টায় মোট অতিক্রম করে = ৪৮ × ৫ কিমি
= ২৪০ কিমি
= ২৪০০০০ মি

তাহলে মোট খুঁটি গননা করেছে = (২৪০০০০/১২০) + ১ টি
= ২০০১ টি

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬০ কিমি গতিতে চলমান ১০০ মি লম্বা একটি ট্রেন ১৫০ মি লম্বা একটি ব্রিজকে কত সময়ে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
মোট দৈর্ঘ্য = ১০০ + ১৫০ = ২৫০ মি

৬০০০০ মি যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ মি যায় ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ডে
২৫০ মি যায় (৩৬০০ × ২৫০)/৬০০০০ সেকেন্ডে
= ১৫ সেকেন্ড

প্রশ্ন: ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫০০ মিটার লম্বা একটি প্লাটফর্ম ২ মিনিটে অতিক্রম করলে ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কি.মি. ছিল?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ৩০০ + ৫০০ = ৮০০ কি.মি.
সময় = ১২০ সে.

প্রশ্নমতে,
⇒ বেগ = ৮০০/১২০ মি/সে 
⇒ বেগ = (৮০০ × ৩৬০০) / (১২০ × ১০০০) মি/সে 
⇒ বেগ = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬০ কিমি এবং ৯০ কিমি বেগে চলমান বিপরীত দিক থেকে আসা দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১১০০ মিটার এং ৯০০ মিটার হলে, একটি অপরটিকে কত সময়ে অতিক্রমে করবে?

সমাধান:
আপেক্ষিক গতি = ৬০ + ৯০ = ১৫০ কিমি/ঘণ্টা
= ১৫০ × (১০০০/৩৬০০) মি/সে
= ১২৫/৩ মি/সে

মোট দূরত্ব = ১১০০ + ৯০০ = ২০০০  মি

সময় লাগবে = ২০০০/(১২৫/৩) সে
= ২০০০ × (৩/১২৫) সে
= ৪৮ সে

প্রশ্ন: ১০০ মিটার এবং ১২০ মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট দুটি ট্রেন দুটি সমান্তরাল রেললাইনে একই দিকে যথাক্রমে ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. ও ৫৪ কি.মি. গতিতে চলছে। দ্রুততর ট্রেনটি ধীর গতির ট্রেনকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
ট্রেন দুটির আপেক্ষিক গতি
= (৭২ - ৫৪)কি.মি/ঘণ্টা 
= ১৮ কি.মি/ঘণ্টা 
= ১৮ × (১০০০/৩৬০০) মিটার/ সেকেন্ড
= ৫ মিটার/ সেকেন্ড

দ্রুততর ট্রেনটি ধীর গতির ট্রেনকে অতিক্রম করতে সময় লাগবে,
= (১০০ + ১২০)/৫
= ২২০/৫
= ৪৪ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ঐ প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
প্লাটফর্মটি অতিক্রমের সময় ট্রেনটি তার নিজের দৈর্ঘ্যে + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
মোট দূরত্ব = (২০০ + ২৫০) মিটার 
                 = ৪৫০ মিটার 

প্রশ্ন: 250 মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ট্রেন একটি নির্দিষ্ট গতিতে 20 সেকেন্ডে একটি সিগনাল পোস্ট এবং 50 সেকেন্ড একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ব্রিজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = x মি

প্রশ্নমতে,
250/20 = (250 + x)/50
⇒ 12500 = 5000 + 20x
⇒ 20x = 7500
⇒ x = 375

প্রশ্ন: যদি স্থির পানিতে নৌকার বেগ x/2 কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ y/2 কি.মি./ঘণ্টা হলে, স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ কত কি.মি./ঘণ্টা?

সমাধান:

আমরা জানি,
স্রোতের নৌকার প্রতিকূলে বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ
= (x/2 - y/2) কি.মি./ঘণ্টা
= (x - y)/2 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে কোন ব্যক্তি ২০ মিনিটে ২ কিমি ও স্রোতের অনুকূলে ১২ মিনিটে ২ কিমি পথ অতিক্রম করে, স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (২ × ৬০)/২০ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (২ × ৬০)/১২ = ১০ কিমি/ঘণ্টা

নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ৬ কিমি/ঘণ্টা

যোগ করে পাই,
২ × নৌকার বেগ = ১৬ কিমি/ঘণ্টা
⇒ নৌকার বেগ = ৮ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ১৬ ঘণ্টায় একটি স্থানে গিয়ে আবার ফিরে আসলে নদী পথের মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
নদী পথের মোট দৈর্ঘ্য = 2x কিমি

তাহলে, স্রোতের অনুকূলে যাবে = x কিমি
এবং স্রোতের প্রতিকূলে যাবে = x কিমি

এখন,
স্রোতের অনুকূলে বেগ = 10 + 5 = 15 কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 10 - 5 = 5 কিমি/ঘণ্টা
 
প্রশ্নমতে,
x/15 + x/5 = 16
⇒ 4x/15 = 16
⇒ 4x = 240
⇒ x = 60

নদী পথের মোট দৈর্ঘ্য = 2 × 60 = 120 কি.মি.

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ১ ঘণ্টায় ২ কিমি যায় এবং স্রোতের অনুকূলে ১০ মিনিটে ১ কিমি যায়। তাহলে স্থির পানিতে ৮ কিমি যেতে নৌকাটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (১ × ৬০)/১০ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ =  ২ কিমি/ঘণ্টা

নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ২ কিমি/ঘণ্টা

বিয়োগ করে পাই,
২ × স্রোতের বেগ = ৪ কিমি/ঘণ্টা
⇒ স্রোতের বেগ = ২ কিমি/ঘণ্টা

তাহলে, স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ৬ - ২ = ৪ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং, স্থির পানিতে সময় লাগবে = ৮/৪ = ২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: নৌকা এবং স্রোতের বেগের অনুপাত যথাক্রমে ২ : ১ । স্রোতের অনুকূলে যে পথ যেতে ৮ ঘণ্টা লাগে, সে পথ ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
মনে করি,
নৌকা এবং স্রোতের বেগের অনুপাত যথাক্রমে ২ক কিমি/ঘণ্টা এবং ক কিমি/ঘণ্টা

নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = (২ক + ক) = ৩ক কিমি/ঘণ্টা
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = (২ক - ক) = ক কিমি/ঘণ্টা

১ ঘণ্টায় যায় ৩ক কিমি
৮ ঘণ্টায় যায় (৩ক × ৮) কিমি
= ২৪ক কিমি

তাহলে, দূরত্ব = ২৪ক কিমি

সুতরাং ফিরে আসতে সময় লাগবে = ২৪ক/ক = ২৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে ৩৬ কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২৪ কিমি যায়। যদি উভয়ক্ষেত্রে তার ৬ ঘণ্টা করে সময় লাগে, স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে বেগ = ৩৬/৬ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ২৪/৬ = ৪ কিমি/ঘণ্টা

নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ৪ কিমি/ঘণ্টা

বিয়োগ করে পাই,
২ × স্রোতের বেগ = ২ কিমি/ঘণ্টা
⇒ স্রোতের বেগ = ১ কিমি/ঘণ্টা