১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪৪০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম জোড় সংখ্যা = ক
∴ দ্বিতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ২
∴ তৃতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ৪

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ২)^২ + (ক + ৪)^২ = ৪৪০
⇒ ক^২ + ক^২ + ৪ক + ৪ + ক^২ + ৮ক + ১৬ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক + ২০ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক = ৪২০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক - ৪২০ = ০
⇒ ক^২ + ৪ক - ১৪০ = ০
⇒ ক^২ + ১৪ক - ১০ক - ১৪০ = ০
⇒ ক(ক + ১৪) - ১০(ক + ১৪) = ০
⇒ (ক + ১৪)(ক - ১০) = ০

∴ ক = ১০ (যেহেতু ক = - ১৪ ঋণাত্মক, তাই গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ প্রথম জোড় সংখ্যা = ১০
∴ দ্বিতীয় জোড় সংখ্যা = ১২
∴ তৃতীয় জোড় সংখ্যা = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১৪

অতএব, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১৪

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক

এখন, ৩ক, ৪ক, ৫ক এর ল.সা.গু = ৬০ক

শর্তমতে,
৬০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৬০
⇒ ক = ৪০

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৪০ = ১২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৪০ = ১৬০
তৃতীয় সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৪০ = ২০০

এখন গ.সা.গু নির্ণয় করি:
১২০ = ২^৩ × ৩ × ৫
১৬০ = ২^৫ × ৫
২০০ = ২^৩ × ৫²

∴ গ.সা.গু = ২^৩ × ৫ = ৮ × ৫ = ৪০

অতএব, তাদের গ.সা.গু = ৪০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৪০ শতাংশের ২৫ শতাংশ ৩০ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, ক এর ৪০% এর ২৫% = ৩০
অর্থাৎ, ২৫% × ৪০% × ক = ৩০
⇒ (২৫/১০০) × (৪০/১০০) × ক = ৩০
⇒ (১০০০/১০০০০) × ক = ৩০
⇒ (১/১০) × ক = ৩০
⇒ ক = ৩০ × ১০
⇒ ক = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৮০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৮৪০ টাকা এবং ৭ বছরে সুদে-আসলে ৯৬০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান:
আসল + ৭ বছরের সুদ = ৯৬০ টাকা
আসল + ৪ বছরের সুদ = ৮৪০ টাকা
^{‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾}
∴ ৩ বছরের সুদ = (৯৬০ - ৮৪০) = ১২০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ১২০/৩ টাকা = ৪০ টাকা
∴ ৭ বছরের সুদ = ৪০ × ৭ টাকা = ২৮০ টাকা

∴ আসল = (৯৬০ - ২৮০) = ৬৮০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১১৫২
বা, ক^২ = ৫৭৬
∴ ক = ২৪

অর্থাৎ, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ২ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৪৮ + ২৪) মিটার
= ২ × ৭২ মিটার
= ১৪৪ মিটার

অতএব, আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ১৪৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ৬৫ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৬০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ৬৫ মিটার
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) = ৬০ মিটার
মাটিতে দূরত্ব (ভূমি) = ক মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ ৬৫^২ = ৬০^২ + ক^২
⇒ ৪২২৫ = ৩৬০০ + ক^২
⇒ ক^২ = ৪২২৫ - ৩৬০০
⇒ ক^২ = ৬২৫
⇒ ক = ২৫

অতএব, মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ২৫ মিটার।

প্রশ্ন: টাকায় ৬টি করে কলা ক্রয় করে টাকায় ৫টি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
টাকায় ৬টি করে কলা ক্রয় করলে,
৬টি কলার ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি কলার ক্রয়মূল্য = ১/৬ টাকা

আবার, টাকায় ৫টি করে কলা বিক্রয় করলে,
৫টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ ১টি কলায় লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ১/৫ - ১/৬ = (৬ - ৫)/৩০
= ১/৩০ টাকা

∴ লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= {(১/৩০)/(১/৬)} × ১০০%
= (১/৩০) × (৬/১) × ১০০%
= (৬/৩০) × ১০০% 
= ২০%

∴ শতকরা ২০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। ৩ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি, ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০/৬০ বার = ২ বার
∴ ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ২ × ৩ = ৬ বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৬ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × ৬ = ২১৬০°

অতএব, ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ২১৬০° ঘুরবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১২/৩৫, ১৮/৪২ ও ২৪/৪৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১২, ১৮ ও ২৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

হর ৩৫, ৪২ ও ৪৯ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭
৪৯ = ৭^২

∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৫ × ৭^২
= ২ × ৩ × ৫ × ৪৯ = ১৪৭০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৬/১৪৭০
= ১/২৪৫

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৩৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ৩৬)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ৩৬) = ৯০
বা, ২ক + ৩৬ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ৩৬
বা, ২ক = ৫৪
বা, ক = ৫৪/২
∴ ক = ২৭

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ২৭°

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৬৫% শিক্ষার্থী বিজ্ঞানে পাশ করল। যদি ৫৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
গণিতে পাশ করেছে = ৭৫%
বিজ্ঞানে পাশ করেছে = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৫৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (গণিত বা বিজ্ঞান) = (গণিতে পাশ) + (বিজ্ঞানে পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৭৫ + ৬৫ - ৫৫)%
= (১৪০ - ৫৫)% = ৮৫%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৮৫)%
= ১৫%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১৫ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
মনে করি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

শর্তমতে,
a√2 = 10√2
⇒ a = 10√2/√2
∴ a = 10

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = a²
= 10² = 100 বর্গএকক

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গএকক।

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৫, ৬, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ৬^২ = ২৫ + ৩৬ = ৬১
যেহেতু ৬৪ ≠ ৬১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৯, ১২, ১৫
বৃহত্তম বাহু = ১৫^২ = ২২৫
অন্য দুই বাহু: ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
যেহেতু ২২৫ = ২২৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

অপশন (গ): ১০, ১১, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ১০^২ + ১১^২ = ১০০ + ১২১ = ২২১
যেহেতু ১৬৯ ≠ ২২১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৭, ৯, ১১
বৃহত্তম বাহু = ১১^২ = ১২১
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৯^২ = ৪৯ + ৮১ = ১৩০
যেহেতু ১২১ ≠ ১৩০, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

∴ সঠিক উত্তর: (খ) ৯, ১২, ১৫

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৬০০০ টাকা সুদে-মূলে ১০৮০০ টাকা হয়?

সমাধান:
এখানে, আসল, P = ৬০০০ টাকা
সুদ, I = (১০৮০০ - ৬০০০) টাকা = ৪৮০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%

আমরা জানি, I = (P × n × r)/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (৪৮০০ × ১০০)/(৬০০০ × ৮)
⇒ n = ৪৮০০০০/৪৮০০০
⇒ n = ১০ বছর

∴ সময় = ১০ বছর

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি ট্রানজিস্টর ৮৪০ টাকায় ২০% লাভে এবং অন্যটি ৯৬০ টাকায় ৪% ক্ষতিতে বিক্রয় করেন। তার মোট লাভ বা ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
প্রথম ট্রানজিস্টরের ক্ষেত্রে,
২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৮৪০)/১২০ টাকা
= ৭০০ টাকা

দ্বিতীয় ট্রানজিস্টরের ক্ষেত্রে,
৪% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৬ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৯৬০)/৯৬  টাকা
= ১০০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য = ৭০০ + ১০০০ = ১৭০০ টাকা
মোট বিক্রয়মূল্য = ৮৪০ + ৯৬০ = ১৮০০ টাকা

∴ মোট লাভ = ১৮০০ - ১৭০০ = ১০০ টাকা

∴ লাভের শতকরা হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (১০০/১৭০০) × ১০০
= ১০০/১৭
=
অতএব, তার মোট লাভের শতকরা হার =

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 486 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 486 বর্গ সে.মি.

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
6a² = 486
⇒ a² = 486/6
⇒ a² = 81
⇒ a = √81
∴ a = 9 সে.মি.

অতএব, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৩ × ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ৭৫৬ × ২১ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২১ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ এর লসাগু = ৭২

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

১০০০ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৬৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৭২ - ৬৪)
= ১০০০ + ৮ = ১০০৮

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭০°/২ = ৩৫°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।

∴ ৩৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°

অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৫৫°

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধান:
ধরি,
২৫% বৃদ্ধিতে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

এখন,
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ চালের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)% = ২০%

অর্থাৎ, তিনি পূর্বের ব্যবহারের তুলনায় ২০% কম চাল ব্যবহার করবেন।

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 32 মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 32
⇒ a = 8 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 8² = 64 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 8 = 16 মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A' = (a')²
= 16² = 256 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = (A' - A)/A × 100
= {(256 - 64)/64} × 100
= (192/64) × 100
= 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

প্রশ্ন: ৪% হারে ১৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ১৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৪% 
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (১৫০০০ × ৪ × ২)/১০০
= ১২০০ টাকা

আবার,
 চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{১ + (r/১০০)}ⁿ - P
= ১৫০০০{১ + (৪/১০০)}^২ - ১৫০০০ 
= ১৫০০০{১ + (১/২৫)}^২ - ১৫০০০ 
= ১৫০০০ × (২৬/২৫)^২ - ১৫০০০
= ১৫০০০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫) - ১৫০০০
= ১৬২২৪ - ১৫০০০
= ১২২৪ টাকা

∴ পার্থক্য = ১২২৪ - ১২০০ = ২৪ টাকা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 10 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 13 একক
ভূমি, b = 10 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
∴ ক্ষেত্রফল = (10/4) × √{4 × (13)² - (10)²}
= (10/4) × √(4 × 169 - 100)
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= 10 × 6
= 60 বর্গ একক।

অতএব, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ একক।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১২০ টাকায় বিক্রয় করলে যত ক্ষতি হয়, ২৪০ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হয়। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, ঘড়ির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

১২০ টাকায় বিক্রয়ে,
বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
ক্ষতি = ক - ১২০ টাকা

২৪০ টাকায় বিক্রয়ে,
বিক্রয়মূল্য = ২৪০ টাকা
লাভ = ২৪০ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪০ - ক = ২(ক - ১২০)
⇒ ২৪০ - ক = ২ক - ২৪০
⇒ ২৪০ + ২৪০ = ২ক + ক
⇒ ৪৮০ = ৩ক
⇒ ক = ১৬০

অতএব, ঘড়ির ক্রয়মূল্য = ১৬০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১৮ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a² বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৮)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩২৪ বর্গমিটার
= ৮১√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৮১√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 20 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 20 সে.মি
এবং কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(20² + 21²) সে.মি
= √(400 + 441) সে.মি
= √841 সে.মি
= 29 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 29 সে.মি।