Math Master

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার ৫জন বন্ধুকে কয়টি উপায়ে দাওয়াত দিতে পারে?

সমাধান:
৫ জন বন্ধুকে দাওয়াত দেয়ার মোট উপায় = ⁵c₁ + ⁵c₂ + ⁵c₃ + ⁵c₄ + ⁵c₅ 
= 5 + 10 + 10 + 5 +1 
= 31

প্রশ্ন:  'DINNER' শব্দের অক্ষরগুলোকে কত রকমে সাজানো যায়?

সমাধান:
DINNER শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি এবং একই বর্ণ N আছে 2 বার।

∴ মোট বিন্যাস = 6!/2! = 720/2 = 360

প্রশ্ন: যদি ⁵p_r = 60 এবং ⁵c_r = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿp_r = n!/(n-r)!

এবং 
ⁿc_r = n!/(n-r)!r!
⇒ ⁿc_r = {n!/(n-r)!} × (1/r!)
⇒ ⁿc_r = ⁿp_r  × (1/r!)
⇒ ⁿp_r = ⁿc_r × r!
⇒ ⁵p_r = ⁵c_r × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ 6 = r!
⇒ r! = 3!
⇒ r = 3

প্রশ্ন: 'HANDSOME' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে সবগুলো স্বরবর্ণ একসাথে থাকবে?

সমাধান:
এখানে মোট অক্ষর 8 টি এবং স্বরবর্ণ 3 টি এবং সবগুলো বর্ন ভিন্ন ভিন্ন।
স্বরবর্ণ তিনটিকে একটি মনে করে মোট বর্ণ 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720
স্বরবর্ণ 3 টির নিজেদেরভ মধ্যে বিন্যাস = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস = 720 × 6 = 4320

প্রশ্ন: RAYMOND শব্দটি থেকে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে Y, M ছাড়া কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
Y, M ব্যাতীত মোট অক্ষর 5 টি।

প্রতিবার 3 টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁵p₃ = 60

প্রশ্ন: 8টি জিনিসের মধ্যে 2টি একই জাতীয়। এইগুলো নিয়ে প্রতিবারে 4টি করে কত ভাবে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
n সংখ্যক জিনিসের p সংখ্যক একই প্রকারের হলে প্রতিবার r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সাজানোর উপায় = ^n-pc_r-i

= ^{8 - 2}c_{4 - 0} + ^{8 - 2}c_{4 - 1} + ^{8 - 2}c_{4 - 2}
= ⁶c₄ + ⁶c₃ + ⁶c₂
= 15 + 20 +15
= 50

প্রশ্ন: 10 জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?

সমাধান:
বাস্কেটবল টিমে খেলোয়ার থাকে ৫ জন।

10 জন থেকে 5 জনের টিম সাজানো যাবে =  ¹⁰c₅ = 252 টি

প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

মোট সাজানো যাবে = n^r = 5⁴ = 625 ভাবে

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলা থেকে 4 জনের একটি কমিটি এমনভাবে গঠন করা হলো যাতে ন্যূনতম 2 জন মহিলা থাকে।
মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
4 জনের কমিটিতে,

2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলাকে ⁷c₂ × ⁴c₂ = 126 উপায়ে সাজানো যাবে। 
1 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলাকে ⁷c₁ × ⁴c₃ = 28 উপায়ে সাজানো যাবে।
 শুধুমাত্র 4 জন মহিলাকে ⁴c₄ = 1 উপায়ে সাজানো যাবে।

∴ মোট = 126 + 28 + 1 = 155 প্রকারে গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: 10 টি বই থেকে 4 টি বই কিভাবে পৃথক করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা একই থাকবে?

সমাধান:
দুইটি বই সর্বদা একই হলে 10 - 2 বা 8 টি বই থেকে 4 - 2 বা 2 টি বই বাছাই করতে হবে।

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = ⁸c₂ = 28 

প্রশ্ন: ছয় বাহু বিশিষ্ট বহুভূজে কয়টি কর্ণ আছে?

সমাধান: 
বিহুভূজের বাহু n = 6 

কর্ণের সংখ্যা = ⁶c₂ - 6 
= 15 - 6
= 9 

প্রশ্ন: ORANGE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে স্বরবর্ণগুলো জোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 6 টি স্বরবর্ণ আছে 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি জোড় অবস্থানে রেখে বিন্যাস হয় = ³p₃ = 6 
বাকি বর্ণগুলোকে বিজোড় অবস্থানে রাখলে বিন্যাস হয় = ³p₃ = 6

∴মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: 3, 6, 2, 8 সংখ্যা গুলো একবার ব্যবহার করে তিন অংকের কয়টি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
4 টি সংখ্যার মধ্যে একটি বিজোড় 
তাই বিজোড় সংখ্যা হতে হলে অবশ্যই এই সংখ্যাটি শেষ ঘরে হতে হবে।

বাকি তিনটি সংখ্যাকে সামনের দুই ঘরে ³p₂ = 6 ভাবে সাজানো যাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 1 = 6 ভাবে।

প্রশ্ন: 8 জন বালক এবং 2 জন বালিকার মধ্য থেকে বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 6 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
বালক = 8 জন 
বালিকা = 2 জন 
বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 
8 জন বালকের মধ্যে 6 জন নিতে হবে 

কমিটি গঠনের উপায় = ⁸C₆ = 28

প্রশ্ন: 9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
8000 থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই 8, 9 থাকতে হবে।
প্রথম ঘরে এই দুই সংখ্যার যেকোনো একটি রাখ যাবে ²p₁ = 2 উপায়ে।
বাকি 3 ঘর সাজানো যাবে 3! = 6 ভাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 2 = 12 উপায়ে যাতে সংখ্যাটি 8000 হতে বড় হয়।

প্রশ্ন: MANGO শব্দের বিন্যাস HEAT শব্দে্র বিন্যাসের কতগুণ?

সমাধান:
MANGO এর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
HEAT এর বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24 

= 120/24
= 5 গুণ

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 10টি শার্ট ও 5টি প্যান্ট আছে। একটি ভ্রমনে যাওয়ার সময় 4টি শার্ট ও 2টি প্যান্ট নিলে কত ভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
10 টি শার্ট এর মধ্যে 4 টি নিলে মোট বাছাই ক্করা যাবে = ¹⁰c₄ = 210
5 টি প্যান্ট এর মধ্যে 2  টি নিলে মোট বাছাই করা যাবে = ⁵c₂ = 10 

∴ মোট বাছাই করা যাবে = 210 × 10 = 2100 ভাবে।

প্রশ্ন: 8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
 8জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে ( n - 1)! উপায়ে।
= (8 - 1)! 
= 7!
= 5040