Math Master

প্রশ্ন: আরিফ ১০ মিনিটে ৬০০ শব্দ এবং মিশা ১০ মিনিটে ৪০০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে একসাথে কাজ করে ৫৪০০ শব্দ মোট কত সময়ে টাইপ করবে?

সমাধান:
আরিফ ও মিশা ১০ মিনিটে টাইপ করে = (৬০০ + ৪০০)
= ১০০০ শব্দ

১০০০ শব্দ টাইপ করে = ১০ মিনিটে
১ শব্দ টাইপ করে = ১০/১০০০ মিনিটে
৫৪০০ শব্দ টাইপ করে = (১০ × ৫৪০০)/১০০০ মিনিটে
= ৫৪ মিনিট

প্রশ্ন: ১৮০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. বেগে চলছে। ৩ মিটার পিছন থেকে সমান্তরাল ভাবে ২১৭ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪২ কি.মি. বেগে আসছিল। ২য় ট্রেনটি কত সময়ে ১ম ট্রেনটিকে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
আপেক্ষিক বেগ = (৪২ - ৩০) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা = ১২০০০/৬০ মিটার/মিনিট
= ১২০০/৬ মিটার/মিনিট
= ২০০ মিটার/মিনিট

∴ দূরত্ব = (১৮০ + ৩ + ২১৭) মিটার
= ৪০০ মিটার

∴ সময় = দূরত্ব/বেগ
= ৪০০/২০০ মিনিট
= ২ মিনিট

প্রশ্ন: হিমেল ও জাহিদ একত্রে একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। হিমেল একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারে। জাহিদ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
হিমেল ও জাহিদ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
হিমেল ও জাহিদ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের = ১/১৫ অংশ

হিমেল একা ৩০ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
হিমেল একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৩০ অংশ

∴ জাহিদ  একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১৫) - (১/৩০) অংশ
= (২ - ১)/৩০ অংশ
= ১/৩০ অংশ

জাহিদ  একা ১/৩০ অংশ করতে পারে = ১ দিনে
জাহিদ  একা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ৩০ দিনে

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১৫০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে, প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মিটার
যেহেতু, প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ = ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ আপেক্ষিক বেগ = (৪৫ + ৪৫) কি.মি./ঘণ্টা
= (৯০ × ১০০০)/৩৬০০ মি./সেকেন্ড
= ৯০০০০/৩৬০০ মি./সেকেন্ড
= ২৫ মি./সেকেন্ড

∴ মোট দূরত্ব = (x + ১৫০) সেকেন্ড

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
⇒ x + ১৫০ = ১৫ × ২৫
⇒ x + ১৫০ = ৩৭৫
⇒ x = ৩৭৫ - ১৫০
∴ x = ২২৫

সুতরাং, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২২৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৩৬ মাইল বেগে ২০ মিনিট চলার পর ঘণ্টায় ৪৮ মাইল বেগে ৪০ মিনিট চলে। সম্পূর্ণ পথের জন্য গাড়িটির গতিবেগের গড় কত?

সমাধান:
৬০ মিনিটে যায় = ৩৬ মাইল
২০ মিনিটে যায় = (৩৬ × ২০)/৬০ মাইল
= ১২ মাইল

আবার,
৬০ মিনিটে যায় = ৪৮ মাইল
৪০ মিনিটে যায় = (৪৮ × ৪০)/৬০ মাইল
= ৩২ মাইল

⸫ (২০ + ৪০) বা ৬০ মিনিটে যায় = (১২ + ৩২) = ৪৪ মাইল

⸫ গতিবেগ ৪৪ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কিমি ও ৬ কিমি। নদীপথে ৯৬ কি.মি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = (১৮ + ৬) = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = (১৮ - ৬) = ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ মোট সময় = (৯৬/১২) + (৯৬/২৪) টেনঘণ্টা
= (৮ + ৪) ঘণ্টা
= ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ১২ কিলোমিটার দৌড়ে কত মিনিটে ৭২০০ মিটার পার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট

১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১২ কিলোমিটার = ১২০০০ মিটার

১২০০০ মিটার পার হয় = ৬০ মিনিটে
৭২০০ মিটার পার হয় = (৬০ × ৭২০০)/১২০০০ মিনিটে
= ৩৬ মিনিটে

প্রশ্ন: সিলেট থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৪০ মাইল। একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৫০ মাইল বেগে ঢাকা থেকে সিলেটের দিকে এবং আর একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৩০ মাইল বেগে সিলেট থেকে ঢাকার দিকে একই সময়ে যাত্রা শুরু করলো। কতক্ষণ সময় পর গাড়ি দুটি মুখোমুখি হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক ঘণ্টা পর গাড়ি দুইটি মুখোমুখি হবে
ক ঘণ্টায় সিলেটগামী গাড়ি যায় = ৫০ক মাইল
ক ঘণ্টায় ঢাকাগামী গাড়ি যায় = ৩০ক মাইল

শর্তমতে,
৫০ক + ৩০ক = ২৪০
⇒ ৮০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৮০
∴ ক = ৩

∴ ৩ ঘণ্টা পর গাড়ি দুইটি মুখোমুখি হবে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১০ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

১/৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ৮ ঘণ্টা পথ চলার পর ঘণ্টায় ৭০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সম্পূর্ণ যাত্রায় তার গড় গতিবেগ ৬০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সে মোট কত ঘণ্টা যাত্রা করেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সে মোট ক ঘণ্টা যাত্রা করে

৮ ঘণ্টায় অতিক্রম করে = (৫০ × ৮) কি.মি.
= ৪০০ কি.মি.

(ক - ৮) ঘণ্টায় অতিক্রম করে = ৭০ × (ক - ৮) কি.মি.
= ৭০ক - ৫৬০ কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(৪০০ + ৭০ক - ৫৬০)/ক = ৬০
বা, ৭০ক - ১৬০ = ৬০ক
বা, ৭০ক - ৬০ক = ১৬০
বা, ১০ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/১০
∴ ক = ১৬

∴ সে মোট ১৬ ঘণ্টা যাত্রা করেছিল।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ২১ সেকেন্ড ও ১৮ সেকেন্ডে যথাক্রমে ১৮৯ মিটার ও ১৪৪ মিটার লম্বা দুটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ১৮৯)/২১ = ( ক + ১৪৪)/১৮
⇒ ২১ক + ৩০২৪ = ১৮ক + ৩৪০২
⇒ ২১ক - ১৮ক = ৩৪০২ - ৩০২৪
⇒ ৩ক = ৩৭৮
∴ ক = ১২৬ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১২৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাঙ্ক দুই তৃতীয়াংশ পূর্ণ আছে। পাইপ ক দ্বারা ট্যাঙ্ক ১০ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ খ দ্বারা ট্যাঙ্ক ৬ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর ট্যাঙ্কটি খালি বা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
ক দিয়ে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১০ অংশ
খ দিয়ে ১ মিনিটে খালি হয় = ১/৬ অংশ

∴ দুটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে খালি হবে = (১/৬) - (১/১০)
= (৫ - ৩)/৩০ অংশ
= ২/৩০ অংশ
= ১/১৫ অংশ

১/১৫ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে
১ অংশ খালি হয় = ১৫ মিনিটে
২/৩ অংশ খালি হয় = (১৫ × ২)/৩ মিনিটে
= ১০ মিনিটে

প্রশ্ন: তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৫, ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় করতে পারে। দুটি মেশিনে সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে?

সমাধান:
মেশিন তিনটি দ্বারা ১ ঘণ্টায় কাজ করা যায় যথাক্রমে ১/৫, ১/১০ ও ১/১৫ অংশ।

∴ দুটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে = (১/৫) + (১/১০) অংশ
= (২ + ১)/১০
= ৩/১০ অংশ কাজ করা যায়

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ২০ ঘন মিটার। দুইটি নল যথাক্রমে মিনিটে ১০০ লিটার এবং ১৫০ লিটার পানি পূর্ণ করতে পারে। দুইটি নল একসাথে চালনা করলে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ঘন মি. = ১০০০ লিটার
১০ ঘন মি. = (১০০০ × ১০)
= ২০০০০ লিটার

২ টি নল একসাথে চললে ১ মিনিটে পূর্ণ হবে = (১০০ + ১৫০) = ২৫০ লিটার।

তাহলে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে সময় লাগবে = ২০০০০/২৫০ = ৮০ মিনিট 

৮০ মিনিট = ৮০/৬০ = ৪/৩ ঘণ্টা 

∴ সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে ৪/৩ ঘণ্টা বা ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: করিম একটি কাজ রহিমের চেয়ে ৯০ দিন কম সময়ে করতে পারে। করিমের কাজের গতি যদি রহিমের কাজের গতির ৩ গুণ হয় তবে করিম একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
রহিমের কাজটি করতে লাগে = ৩ক দিন
করিমের কাজটি করতে লাগে = ক দিন

এখন,
৩ক - ক = ৯০
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/২
∴ ক = ৪৫

প্রশ্ন: রাশেদ যে কাজ ১২ দিনে করে তুহিন সে কাজ ১৫ দিনে এবং সোহেল কাজটির অর্ধেক পরিমাণ ১০ দিনে করতে পারলে তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রাশেদ ১২ দিনে করে সম্পূর্ণ বা ১ অংশ
রাশেদ ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ

তুহিন ১৫ দিনে করে সম্পূর্ণ বা ১ অংশ
তুহিন ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ

সোহেল ১০ দিনে করে = ১/২ অংশ
সোহেল ১ দিনে করে = ১/(২ × ১০) অংশ
= ১/২০ অংশ

∴ তিনজন একত্রে ১ দিনে করে (১/১২) + (১/১৫ + (১/২০) অংশ
= (৫ + ৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ

তিনজন একত্রে ১/৫ অংশ করে = ১ দিনে
তিনজন একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে = ৫ দিনে