নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী সংক্ষিপ্ততম পথ কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
- দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার কোনো নির্দিষ্ট অংশই রেখাংশ।
- এটি দুই প্রান্তে সীমিত থাকে এবং এটি বিন্দু দুটি সংযোগকারী সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: 180° < ∠X < 360° হলে, ∠X কোন প্রকারের কোণ?

সমাধান:
১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠X একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি., তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
= (22/7) × 14² বর্গ সে.মি.
= 616 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 40°, 60°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
- প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

সমাধান:
আয়ত এর বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান। আয়তে ২ জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।
বর্গ এর ২ জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।
সামান্তরিক এর ২ জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

ট্রাপিজিয়াম: 
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

∴ ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

প্রশ্ন: দুটি রেখার মিলিত স্থানে কতটি বিন্দু থাকে?

সমাধান:
- দুটি সরলরেখা যদি ছেদ করে, তবে তাদের মিলিত স্থানে একটিমাত্র বিন্দু থাকে।
- সেই বিন্দুকে ছেদ বিন্দু বলা হয়।

- যদি তারা সমান্তরাল হয় তবে কোন মিলিত বিন্দু থাকবে না।

প্রশ্ন: একটি পূর্ণ কোণের মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে (৩৬০° বা 2π রেডিয়ান) যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে পূর্ণ কোণ বলে।
- একটি পূর্ণ কোণ হলো একটি সম্পূর্ণ বৃত্ত, যার মান 360°। এটি নির্দেশ করে যে যখন কোনো রেখা পুরো বৃত্ত ঘুরে আবার তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে, তখন সেটি 360° কোণ তৈরি করে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য b মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
15² = 9² + b²
⇒ b² = 225 - 81= 144
∴ b = 12

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে নিচের কোন বাক্যটি সত্য?

সমাধান:
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল কত?

সমাধান:
যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সর্বদা 180° হয়। এটি ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

প্রশ্ন: দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্ত হলো-

সমাধান:
দুই বা ততোধিক বৃত্তের কেন্দ্র যদি একই অবস্থানে অবস্থিত হয় তাহলে তাদের সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে।
∴ দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের মানে হলো তাদের এক কেন্দ্র থাকে।

প্রশ্ন: যদি কোন বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য p হয়, তাহলে বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক
বর্গের পরিসীমা হবে 4a একক

এখানে,
a√2 = p
∴ a = p/√2

∴ বর্গের পরিসীমা 4a = 4 × (p/√2) = (√2 × √2 × √2 × √2) × (p/√2)
= 2√2p 

প্রশ্ন: নিচের কোনটির একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্য প্রান্ত সীমাহীনভাবে প্রসারিত থাকে?

সমাধান:
- রশ্মি (Ray) একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়ে একদিকে সীমাহীনভাবে প্রসারিত হয়।
- রশ্মি হলো এমন একটি রেখা, যার একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অপর প্রান্ত সীমাহীনভাবে প্রসারিত থাকে।
- এটি অর্ধসীমাহীন।

অন্যদিকে,
রেখাংশ দুই প্রান্ত বিন্দু দ্বারা সীমাবদ্ধ
এবং সরলরেখা দুই দিকেই অনন্ত পর্যন্ত বিস্তৃত।

প্রশ্ন: 0° থেকে 90° এর মধ্যে যে কোণটি থাকে, তাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
একটি সূক্ষ্ম কোণ হলো 0° -এর থেকে বড় এবং 90°-এর থেকে ছোট কোণ।
উদাহরণস্বরূপ, 45° একটি সূক্ষ্ম কোণ।

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের কর্ণ AC = 8 সে.মি. এবং কর্ণ BD = 6 সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমা কত?

সমাধান:

ধরি,
AC ও BD পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়।
আমরা জানি,
কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOD সমকোণী ত্রিভুজ

∴ AD = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
∴ রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.
∴ রম্বসের পরিসীমা = 4 × 5 = 20 সে.মি.

প্রশ্ন: একই রেখায় অবস্থিত কয়েকটি বিন্দুকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত একাধিক বিন্দুকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
- তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং তাদের মধ্যে রেখা আঁকার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

চিত্রে P, Q, R সমরেখ বিন্দু।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x = কত?


সমাধান:
চিত্র থেকে পাই,
105° + x = 180°
⇒ x = 180° - 105°
∴ x = 75°

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শক কী?

সমাধান:
বৃত্তের স্পর্শক হল এমন একটি রেখা যা বৃত্তটিকে যে কোনো একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কখনও বৃত্তের অভ্যন্তরে প্রবেশ করে না।

প্রশ্ন: বাহু a = 12, বাহু b = 35, এবং বাহু c = 37 হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?

সমাধান:
12² + 35²
= 144 + 1225
= 1369
= 37²
সুতরাং এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭৫ বর্গমিটার এবং ভূমি ১৫ মিটার হলে, সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭৫ বর্গমিটার
সামান্তরিকের ভূমি = ১৫ মিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি
= ৭৫/১৫
= ৫ মিটার

অতএব, সামান্তরিকের উচ্চতা ৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৪ × ৬ = ২৪ মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ২৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৩ = ৮ মিটার।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, x + y = কত?


সমাধান:
y + 55° + x = 180°
⇒ x + y = 180° - 55°
∴ x + y = 125°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য নিচের কোনটি গুরুত্বপূর্ণ?

সমাধান:
- আলেকজান্দ্রিয়ার হেরন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণোয়ের একটি সূত্র দেন যা হেরনের ফর্মুলা নামে পরিচিত।
- হেরন ছিলেন একজন গ্রীক গণিতবিদ
- যখন ত্রিভুজের সব বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে তখন হেরনের সূত্রটি কাজ করে।

হেরনের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

যেখানে,
a, b, c হলো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য।
s হলো অর্ধ-পরিসীমা অর্থাৎ, s = (a + b + c)/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫√৫ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
 
সমাধান:
ধরি,

আয়তক্ষেত্র ABCD এর দৈর্ঘ্য AD = ৫√৫ মিটার এবং প্রস্থ AB = ১০ মিটার

∴ কর্ণ, AC = √{(৫√৫)^২ + ১০^২) মি.
= √(১২৫ + ১০০) মি.
= √(২২৫) মি.
= ১৫ মি.

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল,
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ ক
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ ক + ৫
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

ক + ক + ৫ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৫° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৫°
⇒ ২ক = ৮৫°
∴ ক = ৪২.৫°

সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ =  ৪২.৫° + ৫° = ৪৭.৫°

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক এবং ব্যাসার্ধের মধ্যে কোণ কত?

সমাধান:
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দু গামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব। 
অর্থাৎ 
বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক এবং ব্যাসার্ধের মধ্যে কোণ = ৯০°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 6 সে.মি. 

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (6/4) × √{4 × (8)² - (6)²}
= (3/2) × √(256 - 36)
= (3/2) × √220
= (3/2) × √(4 × 55)
= (3/2) × 2 × √55
= 3√55

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৪ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান: 
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৪ = (১/২) × a × ১১
বা, ৪ = a/২
∴ a = ৮

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল হলে x এর মান কত?

সমাধান:

∴ x = 180° - 40° = 140°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2² × 60°)/360°
= 2π/3

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 2π/3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 13, 14, এবং 15 হলে, এর ক্ষেত্রফল কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 13
b = 14
c = 15

∴ s = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21

∴ ক্ষেত্রফল = 
= √{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}
= √(21 × 8 × 7 × 6)
= √(3 × 7 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3 × 2)
= 3 × 7 × 2 × 2
= 84

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১০২৪ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৮৯৬ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১০২৪ বর্গমিটার 
বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = √১০২৪ মিটার = ৩২ মিটার 

বাগানের পরিসীমা = ৩২ × ৪ মিটার = ১২৮ মিটার 

∴ প্রতি মিটারে খরচ হয় = (৮৯৬/১২৮) টাকা 
= ৭ টাকা 

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের পরিসীমা ২৪ সে.মি. এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৪ সে.মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গের পরিসীমা = ২৪ সে.মি. 
∴ বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ সে.মি. 
= ৬ সে.মি. 
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (এক বাহু)^২ বর্গ সে.মি. 
= (৬)^২ বর্গ সে.মি. 
= ৩৬ বর্গ সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। 
∴ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩৬ 
বা, দৈর্ঘ্য × ৪ = ৩৬ 
বা, দৈর্ঘ্য = ৩৬/৪ 
∴ দৈর্ঘ্য = ৯ সে.মি. 

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ 2x = 72°

∴ y + 30° = 72°
⇒ y = 72° - 30°
∴ y =  42°

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ১০ সে.মি. হলে OF = কত? 

সমাধান:

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ১০ সে.মি. হলে OF = ১০ সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। মাঠের বাহিরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
শুধুমাত্র খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট 
রাস্তা সহ খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = 50 + (2 × 2) = 54 ফুট 
রাস্তা সহ খেলার মাঠের প্রস্থ = 40 + (2 × 2) = 44 ফুট 

∴ রাস্তা সহ খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (54  × 44) বর্গফুট 
= 2376 বর্গফুট 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2376 - 2000) বর্গফুট 
= 376 বর্গফুট 

প্রশ্ন: 3x + 2y = 6 সমীকরণের রেখার ঢাল কী হবে?

সমাধান:
3x + 2y = 6 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

3x + 2y = 6
⇒ 2y = - 3x + 6
⇒ y = - (3/2​)x + 3

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - (3/2)
সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - (3/2)

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের 2/7 অংশ। কোণটির পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ x
সুতরাং তার পূরক কোণ (90 - x)

প্রশ্নমতে,
x = 2(90 - x)/7
বা, 7x = 180 - 2x
বা, 9x = 180
বা, x = 20

সুতরাং কোণটি 20°
কোণটির পূরক কোণ
= 90° - 20°
= 70°

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 6x - 4y + 9 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

⇒ - 2g = 6
∴ g = - 3

- 2f = - 4
∴ f = 2

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (- 3, 2)।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ভরকেন্দ্র (Centroid):
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
- ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকেই 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০০ সে.মি. এবং ১৬০ সে.মি. ও তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৮০ সে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল × মধ্যবর্তী দূরত্ব
= {(১/২) × (১০০ + ১৬০) × ৮০} বর্গ সে.মি. 
= (১/২) × ২৬০ × ৮০ বর্গ সে.মি. 
= (১/২) × ২০৮০০ বর্গ সে.মি.
= ১০৪০০ বর্গ সে.মি. 

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১০৪০০ বর্গ সে.মি.