৪৯তম বিসিএস ⎯ জেনারেল পার্ট [Archived]

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাজক, ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ। যদি ভাগফল ১১৭ এবং ভাজ্য ৪৫৮৭ হয় তাহলে ভাগশেষ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাজ্য = ৪৫৮৭
এবং 
ভাগফল = ১১৭
∴ ভাজক = ১১৭/৩ = ৩৯

আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাগফল × ভাজক + ভাগশেষ 
⇒ ৪৫৮৭ = (১১৭ × ৩৯) + ভাগশেষ
⇒ ৪৫৮৭ = ৪৫৬৩ + ভাগশেষ
⇒ ভাগশেষ = ৪৫৮৭ - ৪৫৬৩
⇒ ভাগশেষ = ২৪

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ৫ যোগ করলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

এখন,
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২ + ৫ = ৭৭

প্রশ্ন: একটি শার্টের পূর্বমূল্য ছিলো ৫২৫ টাকা। বিশেষ মূল্যছাড়ে শার্টটির মূল্য ২০% হ্রাস করার কয়েকদিন পর আবার ২০% বৃদ্ধি করা হলো। শার্টটির বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
শার্টটির পূর্বমূল্য = ৫২৫ টাকা

এখন,
২০% হ্রাস করার পর মূল্য হয় = ৫২৫ - (৫২৫ এর ২০%)
= ৫২৫ - {৫২৫ × (২০/১০০)}
= (৫২৫ - ১০৫) টাকা
= ৪২০ টাকা

আবার ,
হ্রাসকৃত মূল্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে বর্তমান মূল্য = ৪২০ + (৪২০ এর ২০% )
= ৪২০ + {৪২০ × (২০/১০০)}
= (৪২০ + ৮৪) টাকা 
= ৫০৪ টাকা

∴ শার্টটির বর্তমান মূল্য = ৫০৪ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের ১/৩ অংশ। সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
এবং
অপর সংখ্যাটি = খ

প্রশ্নমতে,
(ক - খ) = (ক + খ)/৩
⇒ ৩(ক - খ) = ক + খ
⇒ ৩ক - ৩খ = ক + খ
⇒ ৩ক - ক = ৩খ + খ
⇒ ২ক = ৪খ
⇒ ক = ২খ
⇒ ক/খ = ২/১

সুতরাং সংখ্যা দুইটির অনুপাত, ক : খ = ২ : ১ 

প্রশ্ন: একটি পণ্য ৩৫০ টাকায় বিক্রয় করায় ৩০% ক্ষতি হয়। পণ্যটি ১৭% লাভে বিক্রয় করতে চাইলে বিক্রয়মূল্য কত হতে হবে?

সমাধান:
মনে করি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
৩০% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য,
= ১০০ - (১০০ এর ৩০%)
= ১০০ - ৩০
= ৭০ টাকা 

এখন,  
বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা  হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭০
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৫০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য  = (১০০ × ৩৫০)/৭০ = ৫০০ টাকা

আবার, 
১৭% লাভে,
বিক্রয়মূল্য হবে = ৫০০ + (৫০০ এর ১৭%)
= ৫০০ + (৫ × ১৭)
= (৫০০ + ৮৫) টাকা
= ৫৮৫ টাকা

প্রশ্ন: ১০ টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে প্রথম ৬ টি সংখ্যার যোগফল ৪৫ হলে শেষ ২ টি সংখ্যার গুণফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
১০ টি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭), (ক + ৮), (ক + ৯)

প্রশ্নমতে,
ক +(ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪)+ (ক + ৫) = ৪৫
⇒ ৬ক + ১৫ = ৪৫
⇒ ৬ক = ৪৫ - ১৫
⇒ ৬ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/৬
⇒ ক = ৫

∴ শেষ ২ টি সংখ্যা হবে,
(ক + ৮) = (৫ + ৮) = ১৩ 
এবং (ক + ৯) = (৫ + ৯) = ১৪

∴ সংখ্যা দুইটির গুনফল = (১৪ × ১৩) = ১৮২

প্রশ্ন: কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ১০ কি.মি. , ২০ কি.মি. , ২৪ কি.মি. ও ৩২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?

সমাধান:
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।

এখন,
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ 

১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৪৮০

অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ৪৮০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।

প্রশ্ন: একটি ছাগল ৬% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি ছাগলটি আরও ৩৬০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তাহলে ৬% লাভ হতো। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
৬% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - (১০০ এর ৬%) = (১০০ - ৬) টাকা = ৯৪ টাকা।

আবার, ৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + (১০০ এর ৬%) = (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০৬ - ৯৪) টাকা = ১২ টাকা।

এখন,
বিক্রয়মূল্য ১২  টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০/১২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৬০)/১২ টাকা = ৩০০০ টাকা

∴ ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো ব্যাংকে বার্ষিক ৫% সরল সুদে ৮০০০ টাকা জমা রাখলে তা কত বছরে ১০০০০ টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৮০০০ টাকা
সময়, n = ?
সুদের হার, r = ৫%
সুদ-আসল = ১০০০০ টাকা 
তাহলে,
I = সুদ-আসল - P = ১০০০০ - ৮০০০ = ২০০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr/১০০
বা, n = (I × ১০০)/Pr
বা, n = (২০০০ × ১০০)/(৮০০০ × ৫)
বা, n = ৫

অর্থাৎ বার্ষিক ৫% সরল সুদে ৮০০০ টাকা ৫ বছরে ১০০০০ টাকা হবে। 

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ৮০% শিক্ষার্থী গনিতে, ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করে এবং ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
গনিতে পাশ করে = ৮০%
বাংলায় পাশ করে = ৭০%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করে = মোট শিক্ষার্থী - উভয় বিষয়ে ফেল
= ১০০% - ১০%
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে পাশ করে = (গনিতে পাশ + বাংলায় পাশ) - কমপক্ষে একটিতে পাশ
= ৮০% + ৭০% - ৯০%
= ১৫০% - ৯০%
= ৬০%

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
১.১০১০০১০০০১...... একটি অমূলদ সংখ্যা। 

দশমিক চিহ্নের পরে একই সংখ্যা যদি অসীম পর্যন্ত চলতে থাকে তাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয় অর্থাৎ সকল পৌনঃপুনিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা। 
অন্যদিকে,
দশমিক চিহ্নের পরের অঙ্কগুলোর যদি মিল না থাকে অর্থাৎ পৌনঃপুনিক না হয় তাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। 

প্রদত্ত অঙ্কগুলোর মধ্যে,

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. যথাক্রমে ৯০ এবং ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে, সংখ্যা দুইটির অন্তরফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৫ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫ক × (৩/৫) = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৫ক × ৩ক = ৯০ × ৬
⇒ ১৫ক^২ = ৫৪০
⇒ ক^২ = ৫৪০/১৫
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ
ছোট সংখ্যাটি = (৩ × ৬) = ১৮
এবং বড় সংখ্যাটি = (৫ × ৬) = ৩০

∴ সংখ্যা দুইটির অন্তরফল = (৩০ - ১৮) = ১২

প্রশ্ন: আটার মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় কোনো পরিবারে আটার ব্যবহার শতকরা কত কমালে ঐ পরিবারে আটা বাবদ খরচের কোন পরিবর্তন হবে না?

সমাধান:
ধরি,
আটার পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা 
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ২৫% = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা 

∴ মূল্য বৃদ্ধি পেয়েছে = (১২৫ - ১০০) টাকা = ২৫ টাকা 

১২৫ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = ২৫ টাকা 
∴ ১ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = ২৫/১২৫ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় আটা বাবদ খরচ কমাতে হবে = (২৫ × ১০০)/১২৫ টাকা = ২০ টাকা 

অর্থাৎ আটার ব্যবহার শতকরা কমাতে হবে = ২০%

প্রশ্ন: একটি মহাজনী কারবারে একটি নির্দিষ্ট পরিমান টাকার ৪ বছরের সরল সুদ, আসলের ২/৫ অংশ হলে বার্ষিক সুদের হার কত? 

সমাধান:
ধরি,
আসল = p

দেওয়া আছে, 
সময়, n = ৪ বছর
সরল সুদ, I = (২/৫) × P

সরল সুদের সূত্রানুযায়ী,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ (২/৫) × P = (P × ৪ × r)/১০০
⇒ ২/৫ =  r/২৫
⇒ r = (২ × ২৫)/৫
⇒ r = ১০ 

অর্থাৎ বার্ষিক সুদের হার = ১০%

প্রশ্ন: ৫০ টাকা ও ৬০ টাকা প্রতি কেজি দরে ক্রয়কৃত দুই প্রকার চালকে মিশিয়ে একজন দোকানদার ৫৬ টাকা ৫০ পয়সা প্রতি কেজি গড় দরে বিক্রয় করেন। দুই ধরণের চালের মিশ্রণের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
৫০ টাকা কেজি দরে ক কেজি চালের মূল্য= ৫০ক টাকা
৬০ টাকা কেজি দরে খ কেজি চালের মূল্য = ৬০খ টাকা 

মিশ্রিত করার পর,
(ক + খ) কেজি চালের মূল্য = ৫৬.৫০(ক + খ)  টাকা 

প্রশ্নমতে,
৫০ক + ৬০খ = ৫৬.৫০(ক + খ)
বা, ৫০ক + ৬০খ = ৫৬.৫০ক + ৫৬.৫০খ
বা, ৬০খ - ৫৬.৫০খ = ৫৬.৫০ক - ৫০ক
বা, ৩.৫০ × খ = ৬.৫০ × ক
বা, ক/খ = ৩.৫০/৬.৫০
বা, ক/খ = (৩.৫০ × ১০০)/(৬.৫০ × ১০০)
বা, ক/খ = ৩৫০/৬৫০
বা, ক : খ = ৭ : ১৩

প্রশ্ন: একটি বোতলের বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা এবং ক্রয়মুল্য বিক্রয়মূল্যের দুই-তৃতীয়াংশ। শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বোতলের বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য = ৭৫ × (২/৩) = ৫০ টাকা 

∴ লাভ = (৭৫ - ৫০) টাকা = ২৫ টাকা 

৫০ টাকায় লাভ হয় = ২৫ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ২৫/৫০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ২৫)/৫০ = ৫০ টাকা

অর্থাৎ শতকরা লাভ = ৫০%

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১০। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি ৩৬ বৃদ্ধি পেলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = ক
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = খ
∴ সংখ্যাটি = (ক + ১০খ)

দেওয়া আছে,
ক + খ = ১০...................(১) 

প্রশ্নমতে,
(১০ক + খ) - (ক + ১০খ) = ৩৬
⇒ ৯ক - ৯খ = ৩৬
⇒ ৯(ক - খ) = ৩৬
⇒ (ক - খ) = ৩৬/৯
⇒ (ক - খ) = ৪.................(২) 

(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
২ক = ১৪
⇒ ক = ১৪/২ = ৭

ক এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৭ + খ = ১০
⇒ খ = ১০ - ৭ = ৩

∴ সংখ্যাটি = ক + ১০খ = ৭ + (১০ × ৩) = ৭ + ৩০ = ৩৭

শর্টকাটঃ
অপশন টেস্ট করলে ৩৭ সংখ্যাটিকে উল্টো করলে ৭৩ সংখ্যা পাওয়া যায়, যা ৩৭ হতে ৩৬ বেশি। 

প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৫২০ টি চকলেট রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি চকলেট যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩

৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
        ৪৮
     ___________
           ৪০
           ৩৬
    _____________
              ৪ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক চকলেট যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

∴ চকলেট যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি

প্রশ্ন: কোনো গ্রামের ৬০% লোক নিরক্ষর এবং অক্ষর জ্ঞানসম্পন্নদের ২৮% মহিলা। যদি অক্ষর জ্ঞানসম্পন্ন পুরুষের সংখ্যা ৪৩২০ জন হয়, তবে ঐ গ্রামের মোট লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
গ্রামের লোকসংখ্যা = ক জন 
অক্ষর জ্ঞান সম্পন্ন লোক = ক - (ক এর ৬০%)
= ক - (৬০ক/১০০)
= (১০০ক - ৬০ক)/১০০
= ৪০ক/১০০
= ২ক/৫ জন 

অক্ষর জ্ঞানসম্পন্নদের মধ্যে,
মহিলা = ২৮%
∴ পুরুষ = (১০০ - ২৮)% = ৭২%

প্রশ্নমতে,
(২ক/৫) এর ৭২% = ৪৩২০
⇒ (২ক/৫) × (৭২/১০০) = ৪৩২০
⇒ ক = (৪৩২০ × ১০০ × ৫)/(৭২ × ২)
⇒ ক = ১৫০০০

∴ গ্রামের লোকসংখ্যা = ১৫০০০ জন

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত বছরে ৫০০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৬৬৫৫ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা 
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = ৬৬৫৫ টাকা 
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
A = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০{১ + (১০/১০০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ =৫০০০{১ + (১/১০)}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০{(১০ + ১)/১০}ⁿ
⇒ ৬৬৫৫ = ৫০০০(১১/১০)ⁿ
⇒ (১১/১০)ⁿ = ৬৬৫৫/৫০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = ১৩৩১/১০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = (১১/১০)^৩
⇒ n = ৩

∴ সময় = ৩ বছর

প্রশ্ন: ৯০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ১৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ১ : ৫ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মিশ্রণের পরিমাণ = ৯০ লিটার 
কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৫ : ১৩
অনুপাতদ্বয়ের যোগফল = ৫ + ১৩ = ১৮

মিশ্রণে কেরোসিনের পরিমাণ = ৯০ এর (৫/১৮) = ২৫ লিটার 

এবং পেট্রোলের পরিমাণ = ৯০ এর (১৩/১৮) = ৬৫ লিটার 

ধরি,
মিশ্রণে পেট্রোল মেশাতে হবে = ক লিটার 

প্রশ্নমতে,
২৫ : (৬৫ + ক) = ১ : ৫
⇒ ২৫/(৬৫ + ক) = ১/৫
⇒ (৬৫ + ক) = ২৫ × ৫
⇒ ৬৫ + ক = ১২৫
⇒ ক = ১২৫ - ৬৫
⇒ ক = ৬০

অর্থাৎ মিশ্রণে ৬০ লিটার পেট্রোল মেশালে মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ১ : ৫ হবে। 

প্রশ্ন: একজন ফল বিক্রেতা ১০ টাকায় ৭ টি দরে কিছুসংখ্যক আমলকী ক্রয় করে ২৬ টাকায় ১৩ টি দরে বিক্রয় করেন। তার শতকরা কত টাকা লাভ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭ টি আমলকীর ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা 
এবং
১৩ টি আমলকীর বিক্রয়মূল্য = ২৬ টাকা
∴ ১ টি আমলকীর বিক্রয়মূল্য = ২৬/১৩ = ২ টাকা 

৭ টি আমলকীর বিক্রয়মূল্য = (৭ × ২) টাকা = ১৪ টাকা 

∴ লাভ = (১৪ - ১০) টাকা = ৪ টাকা 

এখন,
১০ টাকায় লাভ হয় = ৪ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৪/১০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৪ × ১০০)/১০ = ৪০ টাকা 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ৪০%

শর্টকাট:
৭ টি আমলকীর বিক্রয়মূল্য = (৭ × ২) টাকা = ১৪ টাকা 

∴ লাভ = {(১৪ - ১০)/১০} × ১০০% = ৪০%

প্রশ্ন: √০.০০০০০৯ এর মান কত?

সমাধান:
√০.০০০০০৯
= √(৯/১০০০০০০)
= ৩/১০০০
= ০.০০৩

বিকল্প সমাধান:
√০.০০ ০০ ০৯
প্রথম ও দ্বিতীয় জোড়ার শুন্যের বর্গমূল হিসেবে প্রতি জোড়া থেকে ১ টি শুন্য হবে।
এবং তৃতীয় জোড়ায় ০৯ এর বর্গমূল হবে ৩

অতএব, √০.০০ ০০ ০৯ = ০.০০৩ 

প্রশ্ন: দুইটি রাশির ল.সাগু. সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গুর ১২ গুণ। গ.সা.গু. ও ল.সা.গুর সমষ্টি ৪০৩। যদি একটি সংখ্যা ৯৩ হয় তাহলে অন্য সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু. = ক
∴ ল.সা.গু. = ১২ক

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ক = ৪০৩
⇒ ১৩ক = ৪০৩
⇒ ক = ৪০৩/১৩
⇒ ক = ৩১

∴ গ.সা.গু. = ৩১
এবং ল.সা.গু. = ১২ × ৩১ = ৩৭২

এখন,
৯৩ × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু
⇒ অপর সংখ্যা = (৩১ × ৩৭২)/৯৩
⇒ অপর সংখ্যা = ১২৪

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যাকে ২০% হ্রাস করা হলে হ্রাসকৃত সংখ্যাটি হয় ৯৬। সংখ্যাটি শতকরা কত বাড়ালে তা ১৫৬ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ১০০
২০% হ্রাস করা হলে হ্রাসকৃত সংখ্যা = ১০০ - ১০০ এর ২০% = ১০০ - ২০ = ৮০

এখন,
হ্রাসকৃত সংখ্যা ৮০ হলে মূল সংখ্যাটি = ১০০
∴ হ্রাসকৃত সংখ্যা ১ হলে মূল সংখ্যাটি = ১০০/৮০
∴ হ্রাসকৃত সংখ্যা ৯৬ হলে মূল সংখ্যাটি = (১০০ × ৯৬)/৮০ = ১২০

সংখ্যাটি বৃদ্ধি করতে হবে = ১৫৬ - ১২০ = ৩৬

আবার,
১২০ থেকে বাড়াতে হবে = ৩৬
∴ ১ থেকে বাড়াতে হবে = ৩৬/১২০
∴ ১০০ থেকে বাড়াতে হবে = (৩৬ × ১০০)/১২০ = ৩০

অর্থাৎ ১২০ সংখ্যাটিকে ৩০% বাড়ালে ১৫৬ হবে। 

প্রশ্ন: কোনো বিনিয়োগে প্রতি অর্ধবছরে যৌগিক মুনাফা প্রদান করা হলে, ১০% হারে কত টাকার ১ বছরের মুনাফা-আসল ১১০২৫ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
যৌগিক বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফা-আসল, A = ১১০২৫ টাকা 
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n  = ১ বছর 
মূলধন, P = ?

আমরা জানি,
অর্ধ বছরে মুনাফা প্রদান করা হলে ১ বছরে ২ বার মুনাফা হয়।

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফা-আসল,
A = P[১ + {r/(২ × ১০০)}]^২n
⇒ ১১০২৫ = P{১ + (১০/২০০)}^{(২ × ১)}
⇒ ১১০২৫ = P{১ + (১/২০)}২
⇒ ১১০২৫ = P{(২০ + ১)/২০}^২
⇒ ১১০২৫ = P(২১/২০)^২
⇒ ১১০২৫ = P(৪৪১/৪০০)
⇒ P = (১১০২৫ × ৪০০)/৪৪১
⇒ P = ১০০০০ 

∴ মূলধন = ১০০০০ টাকা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ২৪০ টাকায় দুইটি বই ক্রয় করে প্রথম বইটি ২০% ক্ষতিতে এবং দ্বিতীয় বইটি ২৮% লাভে বিক্রয় করেন। এর ফলে তার মোটের উপর কোন লাভ বা ক্ষতি হলো না। প্রথম বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বইটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা 
দ্বিতীয় বইটির ক্রয়মূল্য = (২৪০ - ক) টাকা 

২০% ক্ষতিতে প্রথম বইটির বিক্রয়মূল্য = ক - ক এর ২০%
= ক - (২০ক/১০০) = ক - (ক/৫) = (৫ক - ক)/৫ = ৪ক/৫

এবং
২৮% লাভে দ্বিতীয় বইটির বিক্রয়মূল্য
= (২৪০ - ক) + (২৪০ - ক) এর ২৮%
= (২৪০ - ক) + (২৪০ - ক) × (২৮/১০০)
= (২৪০ - ক) + (২৪০ - ক)(৭/২৫)
= {২৫(২৪০ - ক) + ৭(২৪০ - ক)}/২৫
= {৩২(২৪০ - ক)}/২৫
= (৭৬৮০ - ৩২ক)/২৫

প্রশ্নমতে,
(৪ক/৫) + {(৭৬৮০ - ৩২ক)/২৫} = ২৪০ [লাভ বা ক্ষতি না হওয়ায় ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান]
⇒ {(৫ × ৪ক) + (৭৬৮০ - ৩২ক)}/২৫ = ২৪০
⇒ (২০ক + ৭৬৮০ - ৩২ক) = ২৪০ × ২৫
⇒ ৭৬৮০ - ১২ক = ৬০০০
⇒ ১২ক = ৭৬৮০ - ৬০০০
⇒ ১২ক = ১৬৮০
⇒ ক = ১৬৮০/১২
⇒ ক = ১৪০

অর্থাৎ প্রথম বইটির ক্রয়মূল্য = ১৪০ টাকা

শর্টকাট: ( লাভ বা ক্ষতি কিছুই না হলে ) 
• প্রথম বইয়ের ক্রয়মূল্য = {লাভ%/(লাভ% + ক্ষতি%)} ​× মোট ক্রয়মূল্য
= {২৮%/(২৮% + ২০%)} ​× ২৪০
= ১৪০ টাকা 

অনুরূপভাবে,
• দ্বিতীয় বইয়ের ক্রয়মূল্য = {ক্ষতি%/(লাভ% + ক্ষতি%)} ​× মোট ক্রয়মূল্য = {২০%/(২৮% + ২০%)} ​× ২৪০ = ১০০ টাকা