নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: log_x(0.0625) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.0625) = - 4
⇒ x^{- 4} = 0.0625
⇒ x^{- 4} = 625/10000
⇒ x^{- 4} = 1/16
⇒ x^{- 4} = 1/2⁴
⇒ x^{- 4} = 2^-4
∴ x = 2

প্রশ্ন: 5, 9, 13, 17 ....... অনুক্রমটির প্রথম 16টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5 
সাধারণ অন্তর, d = (9 - 5) = 4
পদ সংখ্যা, n = 16
∴ ১ম 16টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (16/2){2 × 5 + (16 - 1)4}
= (16/2){10 + (15 × 4)}
= (16/2)(10 + 60)
= (16/2) × 70
= 560

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ...... + 10³ = কত?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= 3025

প্রশ্ন: log_a(1/81) = - 4 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(1/81) = - 4
⇒ a^{- 4} = 1/81
⇒ 1/a⁴ = 1/3⁴
⇒ a⁴ = 3⁴
∴ a = 3

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 1, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[ log₃( log₂a)] = 1
⇒ log₃(log₂a) = 2¹
⇒ log₃(log₂a) = 2
⇒ log₂a = 3²
⇒ log₂a = 9
⇒ a = 2⁹
∴ a = 512

প্রশ্ন: 8 + 11 + 14 + 17 .... ধারাটির কোন পদ 392?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3

মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 392
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d = 392
⇒ 8 + (n - 1)3 = 392
⇒ 8 + 3n - 3 = 392
⇒ 3n + 5 = 392
⇒ 3n = 392 - 5
⇒ 3n = 387
∴ n = 129 তম পদ

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1 = 5 × 3^3-1 = 45

প্রশ্ন: যদি log_x2 = a এবং log_x5 = b হয়, তাহলে log_x50 = কত?

সমাধান:
log_x50
= log_x(2 × 25)
= log_x(2 × 5²)
= log_x2 + log_x5²
= log_x2 + 2log_x5
= a + 2b  [মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + ……… অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²) ÷ (1/4) = 1/4

সুতরাং, অসমীতক সমষ্টি = a/(1 – r)
= (1/4)/{1 – (1/4)}
= (1/4)/(4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: 64^-2/3 × (1/4)^-2 = কত?

সমাধান:
64^-2/3 × (1/4)^-2 
= (4³)^-2/3 × (1/4)^-2 
= (4)^-2 × (1/4)^-2
= (1/4)² × (1/4)^-2 
= (1/4)^{2 - 2}
= (1/4)⁰
= 1

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + …….. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0018/0.18 = 0.01

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি = a/(1 – r)
= 0.18/(1 – 0.01)
= 0.18/0.99 = 18/99 = 2/11

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে (a + b) = কত?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log(a+b) = log{(a/b)×(b/a)}
⇒ log(a+b) = log1
∴ a + b = 1 

প্রশ্ন: (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

সমাধান:
(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ 
= (19)¹² × (19)⁸ / (19)⁴ 
= (19^{12 + 8}) / (19)⁴ 
= 19²⁰/19⁴
= 19^{20 - 4}
= 19¹⁶

∴ (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)¹⁶

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে ৩য় পদটি 20 এবং ৬ষ্ঠ পদটি 160 হলে ১ম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 
প্রশ্নমতে,
ar² = 20 ………… (1)
ar⁵ = 160 ……… (2)

এখন, (2)/(1) নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে, a ·2² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5

প্রশ্ন: log₁₀7= a হলে, log₁₀(1/70) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(1/70) 
= log₁₀1 - log₁₀70
= - log₁₀(7 × 10)
= - (log₁₀7 + log₁₀10)
= - (log₁₀7 + 1)
= - (a + 1)

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n · 2^{n – 1} হলে ধারাটির ১ম চারটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n তম পদ = n · 2^{n – 1}
∴ ১ম পদ = 1 · 2^{1 -1} = 1 · 1 = 1
২য় পদ = 2 · 2^{2 -1} = 2 · 2 = 4
৩য় পদ = 3 · 2^{3 – 1} = 3 · 4 = 12
৪র্থ পদ = 4 · 2^{4 – 1} = 4 · 8 = 32

সুতরাং সমষ্টি = 1 + 4 + 12 + 32 = 49

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x − 1} = (b/a)^{x − 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x − 1} = (b/a)^{x − 3}
বা, (a/b)^{x − 1} = (a/b)^{− (x − 3)}
বা, (a/b)^{x − 1} = (a/b)^{(3 − x)}
বা, x − 1 = 3 − x
বা, 2x = 4
∴x = 2

প্রশ্ন: log_√27a = 8/3 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_√27a = 8/3
⇒ a = (√27)^8/3
⇒ a = (√3³)^8/3
⇒ a = 3^{{(3/2) × (8/3)}}
⇒ a = 3⁴
∴ a = 81

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …………. + 36 = কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(36 - 2)/2} + 1
= (34//2) + 1
= 18

আবার, n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)
= 18(18 + 1)
= 342

প্রশ্ন: log(a/b) + log(b/c) + log(c/a) = কত?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/c) + log(c/a)
= loga - logb + logb - logc + logc - loga
= 0

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ………. ধারাটির ১ম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = log2
সাধারণ অন্তর, d = log4 – log2 = log4/log2 = log2
এবং n = 16

আমরা জানি,
S_n = (n/2){2a + (n – 1)d}
S₁₆ = (16/2){2 · log2 + (16 – 1)log2}
= 8(2log2 + 15log2)
= 8 · 17log2
= 136log2

প্রশ্ন: যদি (1000)^p/3 = 10 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
(1000)^p/3 = 10
⇒ (10³)^p/3 = 10
⇒ 10^{(3 × p/3)} = 10
⇒ 10^p = 10¹
∴ p = 1

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……… + 12² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {12(12 + 1)(2 · 12 + 1)}/6
= (12 · 13 · 25)/6
= 650

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 6} = 1/64 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
2^{a - 6} = 1/64
⇒ 2^{a - 6} = 1/2⁶
⇒ 2^{a - 6} = 2^{- 6}
⇒ a - 6 = - 6
∴ a = 0

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + ...... ধারাটির প্রথম ছয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = (1/2) ÷ 1
= 1/2

প্রথম  6টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r )
= 1{1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}
={1 - 1/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

প্রশ্ন: 2^{2a + 1} = 128 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2^{2a + 1} = 128
⇒ 2^{2a + 1} = 2⁷
⇒ 2a + 1 = 7
⇒ 2a = 7 - 1
⇒ 2a = 6
∴ a = 3

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81, ………… 729 প্রদত্ত অনুক্রমটি কোন ধরনের ধারা নির্দেশ করে?

সমাধান:
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

এখানে,
9/3 = 3
27/9 = 3
81/27 = 3
যার প্রত্যেকটির সাধারণ অনুপাত 3 অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত সমান যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে। 

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n = n²

প্রশ্ন: 5^{(x + 3)} = 25^{(3x − 4)} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{(x + 3)} = 25^{(3x − 4)}
⇒ 5^{(x + 3)} = (5²)^{(3x − 4)}
⇒ 5^{(x + 3)} = 5^{(6x − 8)}
⇒ x + 3 = 6x − 8
⇒ 5x = 11
∴ x = 11/5

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + …….. ধারাটির কত তম পদ 256?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n – 1}
সুতরাং, ar^{n – 1} = 256
বা, 2 · 2^{n – 1} = 256
বা, 2^{n – 1} = 128
বা, 2^{n – 1} = 2⁷
বা, n – 1 = 7
∴ n = 8

প্রশ্ন: a^{- 3} - 0.001 = 0 হলে, a² এর মান কত?

সমাধান: 
a^{- 3} - 0.001 = 0
⇒ 1/a³ = 1/1000
⇒ a³ = 1000
⇒ a³ = 10³
⇒ a = 10
∴ a² = 100

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ২য় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r. যদি গুণোত্তর ধারার ১ম তিনটি পদের গুণফল 64 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সুতরাং, ২য় পদ = b = ar
৩য় পদ = ar²
সাধারণ অনুপাত = r

সুতরাং, তিনটি পদের গুণফল, a · ar · ar² = 64
বা, a³r³ = 64
বা, (ar)³ = 64
বা, b³ = 4³
∴ b = 4

প্রশ্ন: যদি log(a - 2) = loga - log2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log(a - 2) = loga - log2 
বা, log(a - 2) = log (a/2)
বা, a - 2 = a/2
বা,  a = (a/2) + 2
বা, 2a = a + 4
∴ a = 4

প্রশ্ন: (3/5)³(3/5)^-6 = (3/5)^{2a -1} হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(3/5)³(3/5)^{- 6} = (3/5)^{2a - 1}
⇒ (3/5)^{(3 - 6)} = (3/5)^{2a -1}
⇒ (3/5)^-3 = (3/5)^{2a - 1}
⇒ 2a - 1 = - 3
⇒ 2a = - 2
∴ a = - 1

প্রশ্ন: 6 + 36 + 216 + …….. ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
উল্লিখিত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা
সাধারণ অনুপাত, d = 36/6 = 6

ধারাটির ১ম পদ = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 · 6 = 36
ধারাটির ৩য় পদ = 36 · 6 = 216
ধারাটির ৪র্থ পদ = 216 · 6 = 1296

প্রশ্ন: 2ⁿ ÷ 2^{n - 1} = কত?

সমাধান:
2ⁿ ÷ 2^{n - 1}
= 2^{n - n + 1}
= 2¹
= 2

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ………. + 80 = কত?

সমাধান:
 সমষ্টি = {n(n + 1)}/2
= {80(80 + 1)}/2
= (80 · 81)/2
= 3240

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 9 এবং ৭ম পদ 60 হলে 15 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 9
সুতরাং, ৭ম পদ = a + (7 – 1)d
বা, 60 = a + 6 · 9
বা, a = 60 – 54
বা, a = 6

সুতরাং, 15 তম পদ = a + (15 – 1)d
= 6 + 14× 9
= 132

প্রশ্ন: {(9^a - 4)/(3^a - 2)} - 2 এর মান কত?

সমাধান:
{(9^a - 4)/(3^a - 2)} - 2
= {(3^2a - 2²)/(3^a - 2)} - 2
= [{(3^a)² - 2²}/(3^a - 2)] - 2
= {(3^a - 2)(3^a + 2)/(3^a - 2)} - 2
= 3^a + 2 - 2
= 3^a

প্রশ্ন: 4, 6, 8, ……. সমান্তর অনুক্রমটির কত তম পদ 402?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 6 – 4 = 2

মনে করি,
r তম পদ = 402
a + (r – 1)d = 402
বা, 4 + (r – 1)2 = 402
বা, 4 + 2r – 2 = 402
বা, 2r + 2 = 402
বা, 2r = 402 – 2
বা, 2r = 400
বা, r = 200

প্রশ্ন: যদি (25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^a হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^a
⇒ {(5²)^7.5 × (5)^2.5}/(5³)^1.5 = 5^a
⇒ {5^{(2 × 7.5)} × 5^2.5}/5^{(3 × 1.5)} = 5^a
⇒ {5¹⁵ × 5^2.5}/5^4.5 = 5^a
⇒ 5^a = 5^{(15 + 2.5 − 4.5)}
⇒ 5^a = 5¹³
∴ a = 13