Math Master

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ হবে?

সমাধান: 
এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬, ৬০ এর গ.সা.গু এর সমান।
 ২৪, ৩৬, ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১২

প্রশ্ন: ৫১০০ টাকা তানভীর ও মারুফ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে। মারুফ তার অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দেয়। মারুফের মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
এখানে,
তানভীর ও মারুফ এর অনুপাত = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫

∴ তানভীর পায় = (১/৫) × ৫১০০ টাকা
= ১০২০ টাকা 

∴ মারুফ পায় = (৪/৫) × ৫১০০ টাকা
= ৪০৮০ টাকা 

এখন,
মারুফ, মা ও তার মেয়ের অনুপাত = ২ : ১ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ২ + ১ + ১ = ৪

∴ মারুফের মা পায় = (১/৪) × ৪০৮০ টাকা
= ১০২০ টাকা 

প্রশ্ন: x² - 1 - 5x = 0 হলে, (x² +1)²/x² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 x² - 1 - 5x = 0 
⇒  x² - 1 = 5x 
∴ x - 1/x = 5

এখন,
(x² +1)²/x²
= {(x² +1)/x}²
= (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4.x.(1/x)
= 5² +  4
= 25 + 4
= 29

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয় নিচের কোনটি?

সমাধান:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 20)
= (a + 1)(a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1)(a - 5)(a + 4)

প্রশ্ন: (y/p) + p = (y/q) + q হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(y/p) + p = (y/q) + q
⇒ (y/p) - (y/q) = q - p
⇒ y(1/p - 1/q) = q - p
⇒ y = (q - p) / (1/p - 1/q)
⇒ y = (q - p) / {(q - p)/pq}
⇒ y = (q - p).pq/(q - p)
∴ y = pq

প্রশ্ন: x^x√x = (x√x)^x হলে, √x এর মান কত? 

সমাধান: 
x^x√x = (x√x)^x
⇒ x^x√x = (x . x^1/2)^x
⇒ x^x√x = (x^{1 + 1/2})^x
⇒ x^x√x = x^(3/2)x
⇒ x√x = (3/2)x
⇒ (x^{1 + 1/2})/x = 3/2
⇒ x^{1 + 1/2 - 1} = 3/2
⇒ x^1/2 = 3/2
∴ √x = 3/2

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + .............. ধারাটির ৯ম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
32/64 = 1/2
16/32 = 1/2 

∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা, যার-
প্রথম পদ, a = 64 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2 

ধারার ৯ম পদ = ar^{(9 - 1)}
= 64 ×(1/2)⁸
= 2⁶ × 1/2⁸
= 1/2²
= 1/4 

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৫C_১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৪C_১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে

প্রশ্ন: চিত্রে y এর মান কত?
 
সমাধান: 
2x + 3x = 180° [রৈখিক যুগল কোণ]
⇒ 5x = 180°
∴ x = 36°

এখন,
3x + y + 30° = 180° 
⇒ 3 × 36° + y = 150°
⇒ y = 150° - 108°
∴ y = 42°

প্রশ্ন: ৭ + ১৩ + ১৯ + ২৫ + ………. ধারাটির প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে,
১৩ - ৭ = ৬
১৯ - ১৩ = ৬ 
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭
সাধারন অন্তর, d = ৬
n = ১৫

∴ ধারাটির প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (১৫/২){২ × ৭ + (১৫ - ১)৬}
= (১৫/২)(১৪ + ১৪ × ৬)
= (১৫/২)(১৪ + ৮৪ )
= (১৫/২)× ৯৮
= ১৫ × ৪৯
= ৭৩৫ 

প্রশ্ন: AB || CD, AB = AC এবং ∠BAC = 80° হলে, ∠ECD এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 

∠BAC = 80°
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 80°   [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
⇒ 2∠ABC = 100°  [AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB]
∴ ∠ABC = 50°

AB || CD এবং BE এদের ছেদক, 
∴ ∠ABC = ∠ECD = 50°

প্রশ্ন: ৪০ জনের মধ্যে ২১ জন শুধুমাত্র সিনেমা দেখতে পছন্দ করেন এবং ১৩ জন শুধুমাত্র পিকনিকে যেতে পছন্দ করেন, ২ জন দুটিতেই আগ্রহী। কতজন ব্যক্তি একটিতেও আগ্রহী নয়? 

সমাধান: 
শুধুমাত্র সিনেমা দেখতে পছন্দ করেন ২১ জন 
শুধুমাত্র পিকনিকে যেতে পছন্দ করেন ১৩ জন 
দুটিতেই আগ্রহী ২ জন 

∴ অন্তত একটি কার্যক্রমে আগ্রহী = ২১ + ১৩ + ২ জন 
= ৩৬ জন 

∴ একটিতেও আগ্রহী নয় = ৪০ - ৩৬ জন 
= ৪ জন 

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, মৌলিক অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হলো {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}

এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা {২, ৩, ৫} এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য {৩, ৬}
∴ মৌলিক সংখ্যা অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা {২, ৩, ৫, ৬}

∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বাহুর সংখ্যা = ক 
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক

প্রশ্নমতে,
{(ক - ২)১৮০}/ক = ১৬২
বা, (ক - ২)১৮০ = ১৬২ক 
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ১৬২ক = ৩৬০
বা, ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ২০

∴ বাহুর সংখ্যা = ২০

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার  
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার  

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার।

প্রশ্ন: (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 হলে, tanA =?

সমাধান: 
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 
বা, (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA ) = (7 + 1)/(7 - 1)
বা, 2sinA/2cosA = 8/6
বা, tanA = 4/3 

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৪০০ টাকায় ক্রয় করে ১০% লাভে বিক্রয় করা হলে। দ্রব্যটির ক্রয় মূল্য ১০% কম হলে কত টাকা লাভ হবে?

সমাধান: 
১০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০ টাকা 
ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১০ × ৪০০)/১০০ টাকা 
= ৪৪০ টাকা 

আবার ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে,
দাম হত= (৪০০ - ৪০০ এর ১০%) = (৪০০ - ৪০) টাকা 
= ৩৬০ টাকা 

লাভ=  ৪৪০ - ৩৬০ = ৮০ টাকা