শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: (pqrt)⁰ = ?

সমাধান:
আমরা জানি ,
a⁰ = 1 , যেখানে, a ≠ 0.

∴ (pqrt)⁰ = 1

প্রশ্ন: log_x(1/9) = - 2 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
log_x(1/9) = - 2
⇒  x^{- 2} = 1/9 [log_b(a) = c ⇒ b^c = a]
⇒ 1/(x²) = 1/(3²)  
⇒ x² = 3² 
∴ x = 3

প্রশ্ন: 5 . 3^m - 6 . 3^{m - 1} = ?

সমাধান:
5 . 3^m - 6 . 3^{m - 1}
= 5 . 3^m - 2 . 3 × 3^{m - 1} 
= 5 . 3^m - 2 × 3^{1 + m - 1}
= 5 × 3^m - 2 × 3^m
= 3^m (5 - 2)
= 3^m × 3
= 3^{m + 1}

প্রশ্ন: 125(√5)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
125(√5)^2x = 1
⇒ 5³.(5^1/2)^2x = 1 
⇒ 5³ . 5^x = 1 
⇒ 5^{3 + x} = 1 [a^m × aⁿ = a^{m + n]}
⇒ 5^{3 + x} = 5⁰ 
⇒ 3 + x = 0
∴ x = - 3

প্রশ্ন: log_m(n³) = 3p এবং log_n(m³) = 3q হলে, pq = কত?

সমাধান:
log_m(n³) = 3p
⇒ 3 × log_m(n) = 3p [log_b(a^k) = k log_b(a)]
⇒ log_m(n) = p

আবার,
log_n(m³) = 3q
⇒ 3 × log_n(m) = 3q 
⇒ log_n(m) = q

∴ pq = log_m(n) × log_n(m)
= 1  [log_b(a) × log_a(b) = 1]

প্রশ্ন: 3^y + 3^{2 - y} = 10 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
3^y + 3^{2 - y} = 10
⇒ 3^y + 3²/3^y = 10
⇒ q + (9/q) = 10 [ধরি, 3^y = q]
⇒ (q² + 9)/q = 10
⇒ q² - 10q + 9 = 0
⇒ q² - 9q - q +9 = 0
⇒ q(q - 9) - 1(q - 9) = 0
⇒ (q - 9)(q - 1) = 0

অর্থাৎ, q = 9 অথবা q = 1

যদি q = 9, তাহলে 3^y = 9
⇒ 3^y = 3²
⇒ y = 2

যদি q = 1, তাহলে 3^y = 1
⇒3^y =  3⁰
⇒ y = 0

অতএব, y = 0, 2

প্রশ্ন: (2²)^{x + 3} = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
(2²)^{x + 3} = 256
⇒ 2^{2(x + 3)} = 2⁸
⇒ 2(x + 3) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 - 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1

অতএব, x = 1

প্রশ্ন: 9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
log₃(9√3)
= log₃(9 × √3)
= log₃(9) + log₃(√3) [log_b(mn) = log_bm + log_bn]
= log₃(3²) + log₃(3^1/2)
= 2 × log₃(3) + (1/2) × log₃(3)
= 2 × 1 + (1/2) × 1
= 2 + 1/2
= 5/2

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = ?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: log₁₆M = 0.125 হলে, M এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆M = 0.125
⇒ M = 16^0.125
⇒ M = (2⁴)^1/8
⇒ M = 2^{(4 × 1/8)}
⇒ M = 2^1/2
∴ M = √2

প্রশ্ন: এর সমাধান-

সমাধান:

প্রশ্ন: = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: log₄2 এর মান কত?

সমাধান:
log₄2
= log₄√4
= log₄4^(1/2)
= 1/2 log₄4
= 1/2

প্রশ্ন: log_x324 = 4 হলে, x-এর মান কত?

সমাধান:
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = (81 × 4)
⇒ x⁴ = {(3)⁴ × (√2)⁴}
⇒ x⁴ = (3√2)⁴ 
∴x = 3√2

প্রশ্ন: 4^x + 4^x + 4^x + 4^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
4^x + 4^x + 4^x + 4^x
= 4 × 4^x
= 2² × 2^2x
= 2^{2x + 2}

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} থাকে, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{-(x - 1)}
⇒ 2x - 5 = -(x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: (9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰
= 1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11

প্রশ্ন: 3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25) এর মান কত?

সমাধান:
3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25)
= 3 × log₂(2³) + 4 × log₃(3³) + 5 × log₅(5²)
= 3 × 3 × log₂(2) + 4 × 3 × log₃(3) + 5 × 2 × log₅(5) [∵log_a(Mⁿ) = nlog_a(M)]
= (3 × 3 × 1) + (4 × 3 × 1) + (5 × 2 × 1)   [∵log_a(a) = 1]
= 9 + 12 + 10
= 31

প্রশ্ন: (225)^0.1 × (225)^0.4 এর মান কত?

সমাধান:
(225)^0.1 × (225)^0.4
= (225)^{0.1 + 0.4}
= (225)^0.5
= √225
= 15