Math Master

5x² - 4x²y + 5xy²
(+)-3xy² (+)- 4x²y (-)+ 5x²
_______________________
8xy²
∴ নির্ণেয় বিয়োগফল 8xy²

১ম রাশি,
x² - 2x - 3
= x² - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বয়ের উৎপাদকগুলোর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1

2p - 3q + 5r
= 2(7a + 5b + 6c) - 3(3a - b + 9c) + 5(-3c + 6b + 4a)[মান বসিয়ে]
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c - 15c + 30b + 20a
= 25a + 43b - 30c

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
এখন, প্রথম দুইটি রাশির যোগফল = 2x² + 2z² 
∴ প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল = 3x² - y² + 3z²

 আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

দেওয়া আছে,
বা, x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3
প্রদত্ত রাশি,
= (x³ + 1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (3)³ - 3.3
= 27 - 9
= 18

রাশি তিনটির যোগফল = 2(x² + y² + z²) + (x² - y² + z²) + (-x² + y² - z²)
= 2(x² + y² + z²) 

4x² - 6x + 9 |16x⁴ + 36x² + 81| (4x² + 6x + 9
                   (-)16x⁴ +(-) 36x² -(+) 24x³
                   ________________
                     24x³ + 81
                    (-) 24x³ - (+) 36x² +(-) 54x
                  _________________________
                  36x² - 54x + 81
                  (-)36x² -(+) 54x +(-) 81
                  _____________________
                              0

9x² + 16y²
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y - 24xy
= (3x - 4y)² - 24xy
∴ 9x² + 16y² এর সাথে 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

(a + b+ c)²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
=2(ab + bc + ac) + a² + b² + c² 
∴ সবগুলো সঠিক।

(2x + y) × (2x - y) × (4x² + y²)
= {(2x)² - (y)²}(4x² + y²) 
= (4x² - y²)(4x² + y²)
= (4x²)² - (y²)²
= 16x⁴ - y⁴ 

১ম রাশি,
2x²y + 4xy²
= 2xy(x + 2y) 
২য় রাশি,
4x³y - 16xy³ 
= 4xy(x + 2y)(x - 2y)
৩য় রাশি,
5x²y²(x² + 4xy + 4y²)
= 5x²y²(x + 2y)²
∴ ল.সা.গু. = 20x²y²(x - 2y)(x + 2y)²

x + y = √7
এবং y = x - √3
বা, x - y = √3
আমরা জানি,
xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4
= {(√7)² - (√3)²}/4
= (7 - 3)/4
= 4/4
= 1
∴ xy = 1

a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2 
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

১ম রাশি,
x² + 5x
= x(x + 5) 
২য় রাশি,
x² - 25
= (x + 5)(x - 5)
৩য় রাশি,
x² + 7x + 10
= x² + 5x + 2x + 10
= x(x + 5) + 2(x + 5)
= (x + 5)(x + 2)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. (x + 5) 

১ম রাশি,
a³ - 1
= (a - 1)(a² + a + 1)
২য় রাশি,
1+ a³ 
= (a + 1)(a² - a + 1)
৩য় রাশি,
1 + a² + a⁴
= a⁴ + 2a² + 1 - a²
= (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1)(a² - a + 1)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু.= (a - 1)(a² + a + 1) (a + 1)(a² - a + 1) = a⁶ - 1

(ab + b²)/ab ÷ (a + b)/a
= b(a + b)/ab × a/(a + b)
= 1

১ম রাশি,
x² - 11x + 30
= x² - 6x - 5x + 30
= x(x - 6) - 5(x - 6)
= (x - 6)(x - 5)
২য় রাশি,
x³ - 4x² -2x - 15
=x³ - 5x² + x² - 5x + 3x - 15
= x²(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x² + x + 3)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x - 5)

 (2x + 3y)³
= (2x)³ + 3(2x)²3y + 3.2x(3y)² + (3y)³
= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³