ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)} = কত, যেখানে, (0^∘ < A < 90^∘)

সমাধান:
 {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA)}
= {sinA(1 - cosA) + sin A(1 + cosA)}/{(1 + cosA)(1 - cosA)}
= (sinA - sinA · cosA + sinA + sinA · cosA)/(1 - cos²A)
= 2sinA/sin²A
= 2cosecA

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 10 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(৩, ৪, ৫) পিথাগোরাস ত্রয়ী,
(২)^২ - ১ = ৩
২ × ২ = ৪
(২)^২ + ১ = ৫

এখানে,
একটি ত্রয়ী 10
ধরি,
2m = 10
∴ m = 5
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 5² - 1 = 25 - 1 = 24
m² + 1 = 5² + 1 = 25 + 1 = 26

প্রশ্ন: যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2x = 2sinx · cosx

দেওয়া আছে,
sin⁡x + cos⁡x = 1
⇒ (sin⁡x + cos⁡x)² = 1²
⇒ sin²x + cos²x + 2sinx · cosx = 1
⇒ 1 + 2sinx · cosx = 1
⇒ 2sinx · cosx = 0
∴ sin2x = 0

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৭ ও ২৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ = √(৭^২ + ২৪^২)
= √(৪৯ + ৫৭৬)
= √(৬২৫)
= ২৫ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: যদি cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3, তাহলে, 1 - 2sin²θ = কত?

সমাধান:
cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3
⇒ (cos²θ - sin²θ)(cos²θ + sin²θ) = 2/3
⇒ cos²θ - sin²θ = 2/3
⇒ 1 - sin²θ - sin²θ = 2/3
⇒ 1 - 2sin²θ = 2/3

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৩ × ৪৫°) = ১৩৫°
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮ টি

সুতরাং, বহুভুজটি হবে অষ্টভুজ।

প্রশ্ন: একটি 60 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে 48 মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = x মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
60² = 48² + x²
⇒ 3600 = 2304 + x²
⇒ x² = 3600 - 2304
⇒ x² = 1296
⇒ x = 36 মিটার

প্রশ্ন: যদি rsinθ =1, rcosθ = √3 হয়, তবে (√3tanθ + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ =1,
rcosθ = √3
⇒ rsinθ/rcosθ = 1/√3
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ √3tanθ = 1
⇒ √3tanθ + 1 = 1 + 1
⇒ √3tanθ + 1 = 2

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = (২ × ৬ - ৪) সমকোণ
= ১২ - ৪ সমকোণ
= ৮ সমকোণ

∴ ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = ৮ সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 20 সে.মি. এবং 16 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 20² = 16² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = (400 - 256)
⇒ লম্ব² = 144
∴ লম্ব = 12 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = (12 + 20)
= 32 সে.মি.

প্রশ্ন: tanθ + cotθ = 5 হলে, tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 5
⇒ (tanθ + cotθ)² = 5²
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 25
⇒ tan²θ + cot²θ = 25 - 2    [tanθ · cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 23

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের 27 টি কর্ণ রয়েছে। সেই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

এখন,
{n(n - 3)}/2 = 27
⇒ n² - 3n = 54
⇒ n² - 3n - 54 = 0
⇒ n² - 9n + 6n - 54 = 0
⇒ n(n - 9) + 6(n - 9) = 0
⇒ (n - 9)(n + 6) = 0
∴ n = 9     [n = - 6 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, cotθ = কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = 4/5
∴ cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (4/5)²}
= √{1 - (16/25)}
= √(25 - 16)/25
= √(9/25)
= 3/5

আমরা জানি,
cotθ = cosθ/sinθ
cotθ = (3/5)/(4/5)
= (3/5) × (5/4)
= 3/4

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃকোণ = {(n - 2) × 180°}/n
= {(5 - 2) ×180°}/5
= (3 ×180°)/5
= 108°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 17 সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 7 সে.মি. হলে, সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = x
অপর বাহু = (x + 7)

শর্তমতে,
x² + (x + 7)² = 17²
⇒ x² + x² + 14x + 49 = 289
⇒ 2x² + 14x - 240 = 0
⇒ x² + 7x - 120 = 0
⇒ x² + 15x - 8x -120 = 0
⇒ x(x + 15) - 8(x + 15) = 0
⇒ (x + 15)(x - 8) = 0
হয়,
x = 8

অথবা,
x = - 15  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: A = 60° হলে, sin(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 60°

এখন,
sin(3A/2)
= sin{(3 × 60°)/2}
= sin(180/2)
= sin90°
= 1

প্রশ্ন: 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 4 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 20 মিটার
এবং AB = 4 মিটার
∴ BC = 20 - 4 = 16 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD²  [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD2 = (20)² - (16)²
⇒ CD² = 400 - 256
⇒ CD² = 144
∴ CD =12 মিটার

∴ নির্ণেয় দূরত্ব 12 মিটার।

প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে একটি গাছের ছায়া তার দৈর্ঘ্যের √3 গুণ হবে?

সমধান:
ধরি,
সূর্যের উন্নতি কোণ = θ
গাছের দৈর্ঘ্য = a
ছায়ার দৈর্ঘ্য = √3a

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tanθ = a/√3a
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ θ = 30°

প্রশ্ন: 45° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
1° = π/180 রেডিয়ান
45° = 45°π/180 রেডিয়ান
= π/4 রেডিয়ান

প্রশ্ন: যদি cot (θ - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে cosθ এর মান কত?

সমাধান:
cot (θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot (θ - 30º) = cot 60º
⇒ θ - 30º = 60º
⇒ θ = 60º + 30º
∴ θ = 90º

এখন,
cosθ
= cos90º
= 0

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
মিনারটির উচ্চতা = h মিটার

এখন,
tan45° = লম্ব/ভূমি
⇒ tan45° = h/20
⇒ 1 = h/20

∴ h = 20 মিটার