শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2ax + (a + b) (a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b²
= (x - a - b) (x - a + b)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) ।

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

সমাধান: 
2x - 6 = 4
বা, 2x = 4 + 6
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
∴ x = 5

আবার,
2y - 5 = 5
বা, 2y = 5 + 5
বা, 2y = 10
বা, y = 10/2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5)।

প্রশ্ন: 3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে- 

সমাধান: 
ধরি, 
P(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20

এখানে, 
P(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21. (-1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন
​
১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে = x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি 

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে = (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

প্রশ্নমতে, 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
a⁴ + 4
= a⁴ + 4 + 4a² - 4a²
= (a²)² + 2. a². 2 + (2)² - (2a)²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a) (a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61..........(¡)
x² - y² = 11..........(¡¡) 
-----------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6
​
(¡) নং হতে পাই, 
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 
​
আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে,
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮
বা, ২x + ২০y = ২৮
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮
বা, (x + ১০y) = ২৮/২
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18  । 

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

প্রশ্ন: করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
2x + 3x = 100
বা, 5x = 100
বা, x =100/5
∴ x = 20

∴ করিম মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (20 + 20) টি
= 40 টি।

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান: 
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x² + 7x + P = 0
বা, (5)² + 7.5 + P = 0
বা, 25 + 35 + P = 0
বা, 60 + P = 0
∴ P = - 60

∴ P এর মান = - 60  । 

প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6
বা, x + 5 = 3x + 6
বা, x - 3x = 6 - 5
বা, -2x = 1
বা, x = 1/-2 
∴ x = - 1/2 

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: m² + 8m + 15 এর উৎপাদক- 

সমাধান: 
m² + 8m + 15
= m² + 5m + 3m + 15
= m (m + 5) +3 (m + 5)
= (m + 5) (m + 3)

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 সমীকরণে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2) + 3 = (x/3) + 4 
বা, (x/2) - (x/3) = 4 - 3 
বা, (3x - 2x)/6 = 1 
বা, x/6 = 1 
∴ x = 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16 

∴ একটি সংখ্যা = 16 
এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4
= 20

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a -20
= a²(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

প্রশ্ন: (x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
বা,(x - a)/(a + b) (a - b) = (x - b)/- (a + b) (a - b)
বা, (x - a) = - (x - b)
বা, x - a = - x + b
বা, x + x = a + b
বা, 2x = a + b
 ∴ x = (a + b)/2