Math Master

প্রশ্ন: ১১০ মিটার এবং ৯০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন পরস্পরের দিকে সমান্তরালভাবে যথাক্রমে ১১০ কি.মি. বেগে এবং ৩৪ কি.মি. বেগে ছুটে আসছে। পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
ট্রেন দুটির আপেক্ষিক গতি {(১১০ + ৩৪)×১০০০}/৩৬০০ = ৪০ মি./সে.
দুটি ট্রেনের দৈর্ঘের সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে = (১১০ + ৯০)/৪০ = ৫ সেকেন্ড

প্রশ্ন: ১৮০ মি. দীর্ঘ একটি ট্রেন ২৭ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ৭২০ মি. দীর্ঘ একটি ব্রিজকে অতিক্রম করতে কত সময় নিবে?

সমাধান: 
মোট অতিক্রম করে = (১৮০ + ৭২০) মিটার 
= ৯০০ মিটার

২৭০০০ মিটার যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ৯০০ মিটার যায় (৩৬০০ × ৯০০)/২৭০০০ সেকেন্ড 
= ১২০ সেকেন্ড
= ২ মিনিট 

প্রশ্ন: ২৬০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ২৬ সেকেন্ডে একটি খুঁটি অতিক্রম করলে ৬৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
ট্রেনটির গতিবেগ = ২৬০/২৬ = ১০ মিটার/সেকেন্ড 
প্লাটফর্ম অতিক্রমের ক্ষেত্রে ট্রেনটি অতিক্রম করে (৬৫০ + ২৬০) মিটার = ৯১০ মিটার

ট্রেনটি ১০ মিটার অতিক্রম করে ১ সেকেন্ডে 
ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে ১/১০ সেকেন্ডে 
ট্রেনটি ৯১০ মিটার অতিক্রম করে ৯১০/১০ সেকেন্ডে 
= ৯১ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: একটি লঞ্চের বেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা। লঞ্চটির ৪৫ কি.মি. পথ গিয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের কার্যকরী বেগ = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
বা, স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের কার্যকরী বেগ = ১০ + ৫ = ১৫কি.মি./ঘণ্টা
∴ ৪৫ কি.মি. পথ যেতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ = ৩ ঘণ্টা

আবার,
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের কার্যকরী বেগ = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
বা, স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের কার্যকরী বেগ = ১০ - ৫ = ৫কি.মি./ঘণ্টা
∴ ৪৫ কি.মি. পথ যেতে সময় লাগে = ৪৫/৫ = ৯ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগে = ৩+৯ = ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ১০০ মি. দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি. । ঐ ট্রেনটি অর্ধেক মিনিটে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
৩৬০০ সেকেন্ডে যায় ৪৮০০০ মিটার 
∴ ৩০ সেকেন্ডে যায় (৪৮০০০ × ৩০)/৩৬০০ মিটার 
= ৪০০ মিটার

সেতুটির দৈর্ঘ্য = ৪০০ - ১০০ মিটার
= ৩০০ মিটার 

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি. নদী পথে কোন পথ গিয়ে ফিরে আসতে মোট ২৪ ঘণ্টা সময় লাগে। ঐ পথের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
পথের দূরত্ব d কি.মি.
অনুকূলে কার্যকরী বেগ = ১০ + ৫ = ১৫ কি.মি./ঘণ্টা
প্রতিকূলে কার্যকরী বেগ = ১০ - ৫ = ৫ কি.মি./ঘণ্টা

অনুকূলে যেতে সময় = d/১৫ ঘণ্টা
প্রতিকূলে যেতে সময় = d/৫ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
d/১৫ + d/৫ = ২৪
বা, (d + ৩d)/১৫ = ২৪ 
বা, ৪d = ২৪ × ১৫
বা, d = (২৪ × ১৫)/৪
∴ d = ৯০

∴ পথের দূরত্ব ৯০ কি.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১১০ মিটার দীর্ঘ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে সময় নেয় ১৩.৫ সেকেন্ড এবং একটি ২০৫ মিটার দীর্ঘ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে সময় নেয় ১৮.২৫ সেকেন্ড। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরা যাক ট্রেনের দৈর্ঘ্য হল x মিটার।
ট্রেনের গতিবেগ = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)/সময়

প্রশ্নমতে,
(১১০ + x)/১৩.৫ = (২০৫ + x)/১৮.২৫
বা, (১১০ + x)/৫৪ = (২০৫ + x)/৭৩ [৪ দ্বারা ভাগ করে]
বা, ৮০৩০ + ৭৩x = ১১০৭০ + ৫৪x 
বা, ৭৩x - ৫৪x = ১১০৭০ - ৮০৩০
বা, ১৯x = ৩০৪০
বা, x = ৩০৪০/১৯
∴ x = ১৬০

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১৬০ মিটার

প্রশ্ন: ফেনী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২০০ মাইল। একটি গাড়ি ঘণ্টায় ২৫ মাইল বেগে ঢাকা থেকে ফেনীর দিকে এবং আর একটি গাড়ি ঘণ্টায় ১৫ মাইল বেগে ফেনী থেকে ঢাকার দিকে একই সময়ে যাত্রা শুরু করলো। কতক্ষণ সময় পর গাড়ি দুটি মুখোমুখি হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক ঘণ্টা পর গাড়ি দুইটি মুখোমুখি হবে
ক ঘণ্টায় ফেনীগামী গাড়ি যায় = ২৫ক মাইল 
ক ঘণ্টায় ঢাকাগামী গাড়ি যায় = ১৫ক মাইল 

শর্তমতে,
২৫ক + ১৫ক = ২০০
বা, ৪০ক = ২০০
বা, ক = ২০০/৪০
∴ ক = ৫ 

∴ ৫ ঘণ্টা পর গাড়ি দুইটি মুখোমুখি হবে।

প্রশ্ন: ২৩০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে চলছে। ১ মিটার পিছন থেকে সমান্তরাল ভাবে ২৬৯ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে আসছিল। ২য় ট্রেনটি কত সময়ে ১ম ট্রেনটিকে অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
আপেক্ষিক বেগ = (৫০ - ৪০) কি.মি./ঘণ্টা  = ১০ কি.মি./ঘণ্টা  = ১০০০০/৬০ মিটার/মিনিট
= ১০০০/৬ মিটার/মিনিট
= ৫০০/৩ মিটার/মিনিট

দূরত্ব = ২৩০ + ১ + ২৬৯ মিটার
= ৫০০ মিটার 

সময় = দুরত্ব/বেগ
= ৫০০/(৫০০/৩) মিনিট 
= (৫০০ × ৩)/৫০০ মিনিট 
= ৩  মিনিট

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ১৫ কি.মি./ঘণ্টা ও স্রোতের বেগ ৩ কি.মি./ঘণ্টা। ১২ মিনিটে স্রোতের অনুকূলে কত পথ অতিক্রম করবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী বেগ =১৫ + ৩ = ১৮ কি.মি./ঘণ্টা

∴ অতিক্রান্ত পথ = ১৮ × (১২/৬০) = ৩.৬ কি.মি. [দূরত্ব = বেগ × সময়]