গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় মোট কত জন কথা বলতে পারেন? 

সমাধান: 
মোট লোক সংখ্যা = ৫০
ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = ৩৫ জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলতে পারেন = ২৫ জন 
∴ শুধু ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = (35 - 25) জন
= 10 জন 

আবার,
শুধু বাংলা বলতে পারেন এমন লোকের সংখ্যা = (50 − 35) জন
= 15 জন 

∴ মোট বাংলায় কথা বলতে পারেন এমন লোকের সংখ্যা = {15 (শুধু বাংলা) + 25 (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই)} জন
= 40 জন 

∴ বাংলায় কথা বলতে পারেন = 40 জন ।

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ১০০০ টাকার মুনাফা ২০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ১০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ২০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I =Pnr 
n = I/Pr 
= ২০০/{১০০০ × (১/২০)}
= ২০০/৫০ 
= ৪ বছর ।

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 256
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদের মান 256.

প্রশ্ন: একজন পুরুষ ও একজন মহিলা পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করলেন। মহিলা তার অংশের টাকা নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করলে মহিলার মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
পুরুষ ও মহিলা পুরস্কারের টাকার অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি = ( ১ + ৪) = ৫
∴ মহিলার অংশ = ১০০০ × (৪/৫) টাকা
= ৮০০ টাকা 

আবার, 
নিজের, তার মা এবং তার মেয়ের মধ্যে ভাগকৃত অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ( ২ + ১ + ১) = ৪
∴ মহিলার মায়ের অংশ = ৮০০ × (১/৪) টাকা
= ২০০ টাকা

∴ মহিলার মা পাবে = ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)! উপায়ে 
∴ 7 জনকে ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)! উপায়ে 
= 6! উপায়ে 
= 720 উপায়ে

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
________________________________ 
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

প্রশ্ন: ১০, ৪০ এবং ১০০ চতুর্থ সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ১০ × ৪র্থ সংখ্যা = ৪০ × ১০০
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (৪০ × ১০০)/১০
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ৪০০ 

প্রশ্ন: 1 থেকে 15 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 15 

আবার, 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 6 টি 
যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13

∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা 
= 6/15 
= 2/5  ।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 75 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং 
পদসংখ্যা = 75 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(75 + 1) × 75}/2 
= (76 × 75)/2 
= 38 × 75 
= 2850 

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা 
= ২৫ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

প্রশ্ন: ৩০০০ এর শতকরা ৫ ভাগ অপেক্ষা ৩০০০ এর শতকরা ১০ ভাগ কত বেশি? 

সমাধান: 
৩০০০ এর ৫% = ৩০০০ এর ৫/১০০ 
= ১৫০ 

আবার, 
৩০০০ এর ১০% = ৩০০০ এর ১০/১০০ 
= ৩০০ 

∴ বেশি = (৩০০ - ১৫০) 
= ১৫০ ।

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৬০% ছাত্র ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে। ইংরেজীতে অকৃকার্যের সংখ্যা মোট ৯০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে = ৬০% 
∴ ইংরেজীতে অকৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৬০)% 
= ৪০% 

৪০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০/৪০ জন 
∴ ৯০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৯০)/৪০ জন 
= ২২৫ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ২২৫ জন।

প্রশ্ন: একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত 2 : 3 : 4 । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 : 4 
∴ লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাতগুলোর যোগফল = (2 + 3 + 4) 
= 9 

বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/9 
= 1/3 

∴ বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/3) 
= (3 - 1)/3 
= 2/3 

∴ লাল বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/3  ।

প্রশ্ন: ক, খ এবং গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ এবং ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 9টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির- 
১ম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, 
r এর মান 1 থেকে বড়, তাই 
ধারাটির সমষ্টি, Sn = a. (rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁹ - 1)/2 - 1
= (512 - 1)/1
= 511

∴ 9টি পদের সমষ্টি = 511

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। একবারও হেড না আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
মুদ্রা নিক্ষেপ করলে প্রতিবার ২টি ফলাফল হয়: H বা T 
∴ তিনবার নিক্ষেপে মোট ফলাফল = 2³ = 8 (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) 
∴ মোট ফলাফল = 8 টি 

এখন, 
একবারও হেড না আসা মানে তিনবারই Tail আসা অর্থাৎ, TTT
∴ অনুকূল ফলাফল = 1 টি

∴ প্রত্যাশিত সম্ভাবনা= 1/8

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা এবং 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা
∴ লাভ = (৬ক - ৫ক) টাকা
= ক টাকা

∴ শতকরা লাভ = (ক/৫ক) × ১০০% 
= ২০% ।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ৬ × ৩৫ 
= ২১০ ।