Math Master

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে, ধারাটি -

সমাধান: 
কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 - 4 = 2 - 4 = - 2
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 - 4 = 4 - 4 = 0
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 - 4 = 6 - 4 = 2
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4

ধারাটি: - 2, 0, 2, 4, ............

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. ধারাটির কততম পদের মান 256?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +............. 

ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 
∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
বা, 2. 2^{n - 1} = 256
বা, 2^{n - 1 + 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ............ + n³= কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
1³ + 2³+ 3³ + ............ + n³ = {(n(n + 1)/2}²
1 + 2 + 3 + .............. + n = {n(n+1)/2}

∴1³ + 2³ + 3³ + ............ + n³ = (1 + 2 + 3 + .............. + n)²

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + ..... ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 13 -7 = 6
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d
= 7+ (15 -1) x 6
= 7 + 14 x 6
= 91

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে,
ধারাটির নবম পদ
= 7 × 9 - 2
= 63 - 2
= 61

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ 45 এবং ৪র্থ পদ 135 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে
৩য় পদ = 45 এবং
৪র্থ পদ = 135

সাধারণ অনুপাত, r = 135/45 = 3
ধারাটির প্রথম পদ = a
৩য় পদ = ar^{3 -1} = 45
⇒ a3² = 45
⇒ 9a = 45
⇒ a = 45/9
⇒ a = 5

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + .............+ 25² =?

সমাধান: 
1² + 2² + 3² + 4² + ........ + n² = n (n + 1) (2n + 1)/6 

1² + 2² + 3² + 4² + .............+ 25²
= 25 (25 + 1) (50 + 1)/6 
= 25 × 26 × 51/6
= 5525 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 2

∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)2
= 3 + 2n - 2
= 2n + 1

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ....... ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 1 
সাধারণ অনুপাত d = 1/3 

সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r) 
= {1 - (1/3)⁵}/(1 - 1/3)
= (242/243)/(2/3)
= 121/81

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৩ এবং দ্বিতীয় পদ ৫ হলে ধারাটির প্রথম ১৬ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 5 - 3 = 2
এবং পদসংখ্য n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১৬তম পদের সমষ্টি
= (16/2){2. a + (16 - 1)d}
= 8{2 × 3 + 15 × 2}
= 8(6 + 30)
= 8 × 36
= 288

প্রশ্ন: 84 + 42 + 21 +....... ধারাটির অষ্টম পদ কত? 

সমাধান: 
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = 84 
সাধারণ অন্তর d = 42/84 = 1/2 

অষ্টম পদ = arn - 1
= 84 (1/2)8 - 1
= 84 (1/2)7
= 84/128 
= 21/32

প্রশ্ন: x - x + x - x +...... ধারাটির ১৭ তম পদ কত? 

সমাধান: 
ধারাটির বিজোড় স্থানে ধনাত্মক x এবং জোড় স্থানে নেগেটিভ x আছে। তাই 17 তম পদ বিজোড় স্থানে হওয়ায় ধনাত্মক x উত্তর হবে। 

প্রশ্ন: 5 থেকে 35 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান: 
পদসংখ্যা = (35 - 5) + 1 = 30 + 1 = 31 

সমষ্টি = (35 + 5) × 31/2
= 20 × 31
= 620