গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: 30 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
30 এর উৎপাদকগুলো হল {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
মৌলিক উৎপাদক গুলো হলো = {2, 3, 5}

প্রশ্ন: যদি দুটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হয় তবে তাদের যোগফল ছয় আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুইবার ছক্কা নিক্ষেপে মোট ঘটনার সংখ্যা = ৬ × ৬ = ৩৬টি

যোগফল ৬ আসার অনুকূল ঘটনা = (১ + ৫), (২ + ৪), (৩ + ৩), (৪ + ২), (৫ + ১) = ৫টি

∴ যোগফল ছয় আসার সম্ভাবনা = ৫/৩৬

প্রশ্ন: কোনাে সমান্তর ধারার ১ম পদ ২২ এবং ২য় পদ ২৭ হলে ১৫তম পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭ - ২২ = ৫
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d
= ২২ + (১৪ × ৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-
 
সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: ৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ১ম দল ^৬C_২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।

২য় দল, বাকী (৬ - ২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ^৪C_২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।

৩য় দল, অবশিষ্ট (৪ - ২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ^২C_২ = ১ উপায়ে গঠন করা যায়।

∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫ × ৬ × ১ = ৯০

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে একবার টস করলে head এবং একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করলে 4 আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রাকে একবার টস করলে head আসার সম্ভাবনা 1/2

একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করলে 4 আসার সম্ভাবনা 1/6

∴ একটি মুদ্রাকে একবার টস করলে head এবং একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করলে 4 আসার সম্ভাবনা (1/2) × (1/6)
= 1/12 

প্রশ্ন: 3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 9/3
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 3 × 3²
= 27

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৫ ও ১২ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
বা, অতিভুজ = √(১২^২ + ৫^২)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯

∴ অতিভুজ = ১৩ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: যদি A = {x : x² = 25 অথবা 2x - 3 = 5} হয় তবে A =?

সমাধান:
x² = 25
∴ x = ± 5

2x - 3 = 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

∴ A = {- 5, 4, 5}

প্রশ্ন: 9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
8000 থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই 8, 9 থাকতে হবে।
প্রথম ঘরে এই দুই সংখ্যার যেকোনো একটি রাখ যাবে ²p₁ = 2 উপায়ে।
বাকি 3 ঘর সাজানো যাবে 3! = 6 ভাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 2 = 12 উপায়ে

∴ 8000 থেকে বড় ১২টি সংখ্যা গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: 4 + 2 + 1 + ...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টির মান কত?

সমাধান: 
২য় পদ/ ১ম পদ =  2/4 = 1/2
৩য় পদ/ ২য় পদ = 1/2 
∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারার প্রথম পদ, a = 4
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2 
এখানে, । r। < 1 
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি রয়েছে।

S_∞ = a/(1 - r)
= 4/(1 - 1/2)
= 4/(1/2)
= 8

প্রশ্ন: যদি ২০২৩ সালের জুন মাসের ৪র্থ সপ্তাহে মোট ৪ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
অর্থাৎ, রবিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴ রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৪/৭ = ৩/৭

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২ টি।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।

∴ হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪

প্রশ্ন: ৫ জন মানুষ কত উপায়ে বসে একটি গোল টেবিলে বৈঠক করতে পারবে?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
গোল টেবিলে বৈঠক করার উপায় = (n - 1)!
= (৫ - ১)!
= ২৪