ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত যথাক্রমে 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণের অনুপাত, 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতের সাধারণ x হলে, x, 2x, 2x, 3x

∴ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি,
⇒ x + 2x + 2x + 3x = 360°
⇒ 8x = 360°
⇒ x = 360°/8
⇒ x ​= 45°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = x = 45^∘
∴ বৃহত্তম কোণ = 3x = 3 × 45^∘ = 135^∘

∴ পার্থক্য = (135 - 45^∘) = 90^∘

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 5 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত 2x এবং 5x

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(2x)² : π(5x)²
= 4πx : 25πx
= 4 : 25

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 120° হলে, ∠ABC এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
⇒ ∠ABC + ∠BCD = 180°
⇒ ∠ABC + 120° = 180°
⇒ ∠ABC = 180°  - 120°
⇒ ∠ABC = 60°

প্রশ্ন: দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে কয়টি কোণ তৈরি হয়?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে চারটি কোণ তৈরি হয়।

প্রশ্ন: একটি জমির দৈর্ঘ্য ৯০ ফুট এবং প্রস্থ ৮০ ফুট । ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত কাঠা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য =৯০ ফুট
প্রস্থ =৮০ ফুট

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (৯০ × ৮০ ) বর্গ ফুট
= ৭২০০ বর্গ ফুট

আমরা জানি,
৭২০ ফুট = ১ কাঠা
∴ ৭২০০ ফুট = (৭২০০/৭২০) = ১০ কাঠা

প্রশ্ন: কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অংঙ্ক করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজ দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

সুতরাং,
2 + 5 = 7 > 8   ;যা সত্য নয়
5 + 4 = 9 > 9  ;যা সত্য নয়
5 + 6 = 11 > 12  ;যা সত্য নয়
5 + 6 = 11 > 7  ;যা সত্য 

সুতরাং, 5, 6, 7 বিন্দু দ্বারা ত্রিভুজ অংঙ্ক করা যাবে ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 44 সে. মি. এবং কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিধি, 2πr = 44 সে. মি.
এবং  উৎপন্ন কোণ = 90°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, L = (θ/360°) × 2πr
= (90/360)° × 44
= (1/4) × 44
= 11 সে. মি.

সুতরাং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 11 সে. মি.

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 2 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি সম্পূরক কোণ যথাক্রমে 3x এবং 2x

আমরা জানি,
দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল 180°

প্রশ্নমতে,
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
⇒ x = 36°

∴ বৃহত্তম কোণ = 3x = 3 × 36° = 108°

প্রশ্ন: রেখার প্রান্ত বিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখা হলো একটি অসীম দৈর্ঘ্যের সরলরেখা, যার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চার গুণ। পরিসীমা 70 একক হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x একক
দৈর্ঘ্য = 4x একক

∴ পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(4x + x) =70
⇒ 2(5x) = 70
⇒ 10x = 70
⇒ x = 70/10
⇒ x = 7

∴ প্রস্থ = 7 একক
∴ দৈর্ঘ্য = 4 × 7 = 28 একক

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 28 × 7 = 196 বর্গ একক

প্রশ্ন: যদি ত্রিভুজের একটি কোণ অন্য দুটি কোণের যোগফলের অর্ধেক হয়, তাহলে ঐ কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি কোণ a, b, c

শর্তমতে,
a = (1/2)(b + c)......... (1)

∴ ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি,
⇒ a + b + c = 180°
⇒ (1/2)(b + c) + b + c = 180°
⇒ (3/2)(b + c) = 180°
⇒ (b + c) = (180° × 2)/3 = 120°
⇒ b + c = 120°

∴  (1) নং হতে,
a = (1/2)(b + c)
= (1/2) × 120°
= 60°

সুতরাং ঐ কোণ 60°

প্রশ্ন: এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী বলা হয়?

সমাধান:
স্থুলকোণ: এক সমকোণ (90°) থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ (180°) থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলা হয়।
সমকোণ: যে কোণের পরিমাণ 90^∘, তাকে সমকোণ বলে।
সূক্ষ্মকোণ: যে কোণের পরিমাণ 90^∘ থেকে ছোট , তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে ।

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংঙ্ক করলে কয়টি সমকোণ উৎপন্ন হবে?

সমাধান:
যখন একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংক করা হয়, তখন দুটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ সে. মি.

ধরি,
ভূমি = x সে. মি.
উচ্চতা = 2x সে. মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ x × 2x = 288
⇒ 2x² = 288
⇒ x²= 288/2
⇒ x = √144
⇒ x = 12

∴ ভূমি = x = 12 সে. মি.
∴ উচ্চতা = 2x = 2 × 12 = 24 সে. মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি, 8 সেমি ও 9 সেমি হলে, অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
অর্ধপরিসীমা = (7 + 8 + 9​)/2 = 24/2 = 12

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)}
= √(12 × 5 × 4 ×3)
= √(720)
= 12√5​ বর্গ সে. মি.

∴ ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল/অর্ধপরিসীমা
= 12√5/12
= √5 সে. মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত একটি জ্যার দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য, x = 24/2=12 সে. মি.
দেওয়া আছে,
লম্ব, d = 5 সে. মি.

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,
⇒ r² = x² + d²
⇒ r² = 12² + 5²
⇒ r² = 144 + 25
⇒ r² = 169
⇒ r = √169 
⇒ r = 13
∴ ব্যাসার্ধ = 13 সে. মি.

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 13 = 26 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24√2 সে. মি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
⇒ 4a = 24√2
⇒ a = 24√2/4
⇒ a = 6√2

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × a
= √2 × 6√2
= 6 × 2
= 12 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 সে. মি.।

শর্টকাট:
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = পরিসীমা/(2√2)
= 24√2/(2√2)
= 12

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে. মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = 36 সে. মি.

∴ পরিসীমা = 3a
⇒ 36 = 3a
⇒ a = 36/3
⇒ a = 12 সে. মি.

∴ ক্ষেত্রফল, = (√3/4) × a²
= (√3/4)(12)²
= (√3/4) × 144
= 36√3 বর্গ সে. মি.